Đề Toán tuyển sinh lớp 10 năm 2021 Khánh Hòa - Kỳ thi vào lớp 10 năm 2021 tỉnh Khánh Hòa chính thức được tổ chức. Trong bài viết này AIOMT Premium xin chia sẻ đáp án môn toán thi tuyển sinh lớp 10 năm 2021 Khánh Hòa, mời các bạn chú ý theo dõi.
Trích dẫn đề thi vào lớp 10 môn Toán Khánh Hòa 2021
Câu 1 (2,00 điểm): (Không sử dụng máy tính cầm tay)
a) Tính giá trị biểu thức $A=\sqrt{18}+2\sqrt{8}-\dfrac{1}{5}\sqrt{50}$.
b) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
3x-2y=11 \\ x+2y=9 \\ \end{array} \right.$
Câu 2 (2,50 điểm):
Trên mặt phẳng tọa độ, cho parabol $(P):y={{x}^{2}}$ và đường thẳng $(d):y=2x+{{m}^{2}}-2m$ ( $m$ là tham số).
a) Biết $A$ là một điểm thuộc $(P)$ và có hoành độ ${{x}_{A}}=-2$. Xác định tọa độ điểm $A$.
b) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt.
c) Xác định tất cả các giá trị của $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$ thỏa mãn điều kiện $x_{1}^{2}+2{{x}_{2}}=3m$.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1 (2,00 điểm):
a) Tính giá trị của biểu thức $A=\sqrt{18}+2\sqrt{8}-\dfrac{1}{5}\sqrt{50}$
Ta có:
$A=\sqrt{18}+2\sqrt{8}-\dfrac{1}{5}\sqrt{50}$
$=\sqrt{9.2}+2\sqrt{4.2}-\dfrac{1}{5}\sqrt{25.2}$
$=3\sqrt{2}+4\sqrt{2}-\dfrac{1}{5}5\sqrt{2}$
$=7\sqrt{2}-\sqrt{2}$
$=6\sqrt{2}$
Vậy $A=6\sqrt{2}$.
b) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - 2y = 11}\\{x + 2y = 9}\end{array}} \right.\)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - 2y = 11}\\{x + 2y = 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x = 20}\\{y = \frac{{9 - x}}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5}\\{y = 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(x;y)=(5;2)$.
Câu 2 (2,50 điểm):
a) Biết $A$ là một điểm thuộc $(P)$ và có hoành độ ${{x}_{A}}=-2.$ Xác định tọa độ điểm $A$.
Thay ${{x}_{A}}=-2$ vào hàm số $(P):y={{x}^{2}}$ ta được ${{y}_{A}}={{(-2)}^{2}}=4$.
Vậy $A(2;4)$.
b) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt.
Phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ là
${{x}^{2}}=2x+{{m}^{2}}-2m\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-{{m}^{2}}+2m=0$ (1)
$(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow {{\Delta }^{\prime }}>0\Leftrightarrow 1+{{m}^{2}}-2m>0$
$\Leftrightarrow {{(m-1)}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne 1$
Vậy với $m\ne 1$ thì $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt.
c) Xác định tất cả các giá trị của m để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$ thỏa mãn điều kiện $x_{1}^{2}+2{{x}_{2}}=3m$.
Với $m\ne 1$. Áp dụng định lí Vi - ét phương trình (1) có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 2}\\{{x_1}{x_2} = - {m^2} + 2m}\end{array}} \right.\)
Do ${{x}_{1}}$ là nghiệm của phương trình (1) nên:
$x_{1}^{2}=2{{x}_{1}}+{{m}^{2}}-2m$ mà $x_{1}^{2}+2{{x}_{2}}=3m$ nên:
$2{{x}_{1}}+{{m}^{2}}-2m+2{{x}_{2}}=3m$
$\Leftrightarrow 2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+{{m}^{2}}-5m=0$
$\Rightarrow {{m}^{2}}-5m+4=0$
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1({\rm{ktm}})}\\{m = 4({\rm{tm}})}\end{array}} \right.\)
Vậy $m=4$.
Câu 3 (1,50 điểm):
Gọi số thẻ Căn cước trong một ngày mà tổ công tác cấp theo kế hoạch là $x$ thẻ $\left( x\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$.
$\Rightarrow $ số ngày cần đề cấp hết $7200$ thẻ theo kế hoạch là $\dfrac{7200}{x}$ (ngày).
Số thẻ cấp được trong một ngày theo thực tế là: $x+40$ (thẻ).
$\Rightarrow $ Số ngày cấp hết $7200$ thẻ theo thực tế là $\dfrac{7200}{x+40}$ (ngày)
Vi tổ công tác đã hoàn thành nhiệm vụ sóm hon kế hoạch $2$ ngày nên ta có phương trình:
$\dfrac{7200}{x}-\dfrac{7200}{x+40}=2\Leftrightarrow \dfrac{3600}{x}-\dfrac{3600}{x+40}=1$
$\Leftrightarrow 3600(x+40)-3600x=x(x+40)$
$\Leftrightarrow 3600x+144000-3600x={{x}^{2}}+40x$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+40x-144000=0$
Ta có $\Delta '={{20}^{2}}+144000=144400>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 20 + \sqrt {144400} = 360\quad ({\rm{tm}})}\\{x = - 20 - \sqrt {144400} = - 400({\rm{ktm}})}\end{array}} \right.\)
Vậy theo kế hoạch ban đầu, mỗi ngày tổ công tác sẽ cấp được $360$ thẻ Căn cước.
Câu 4 (3,00 điểm):
a) Chứng minh $BCEF$ là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Xét tứ giác $BCEF$ có: $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}={{90}^{{}^\circ }}$ (gt).
Suy ra tứ giác $BCEF$ là tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).
b) Chứng minh $OA\bot EF$.
Kẻ tiếp tuyến $Ax$của $(O)$.
Ta có: $\widehat{CAx}=\widehat{CBA}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cùng chắn cung $AC$)
Mà $\widehat{CBA}=\widehat{CBF}=\widehat{AEF}$ (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp $BCEF$)
$\Rightarrow \widehat{CAx}=\widehat{AEF}$
Mà hai góc này ở vị trí so le trong $\Rightarrow Ax//EF$
Theo cách vẽ ta có $OA\bot Ax\Rightarrow OA\bot EF$ (đpcm).
c) Hai đường thẳng $BE$, $CF$ lần lượt cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là $N$ và $P$. Đường thẳng $AH$ cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là $M$ và cắt $BC$ tại $D$. Tính giá trị biểu thức $\dfrac{AM}{AD}+\dfrac{BN}{BE}+\dfrac{CP}{CF}$.
Ta có:
${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AD\cdot BC,{{S}_{ABMC}}=\dfrac{1}{2}AM\cdot BC$
$\Rightarrow \dfrac{{{S}_{ABMC}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AM\cdot BC}{\dfrac{1}{2}AD\cdot BC}=\dfrac{AM}{AD}$
Chứng minh tương tự ta có: $\dfrac{{{S}_{ABCN}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}=\dfrac{BN}{BE},\dfrac{{{S}_{ACBP}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}=\dfrac{CP}{CF}$.
$\Rightarrow \dfrac{AM}{AD}+\dfrac{BN}{BE}+\dfrac{CP}{CF}=\dfrac{{{S}_{ABMC}}+{{S}_{ABCN}}+{{S}_{ACBP}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}$
$=\dfrac{{{S}_{\Delta ABC}}+{{S}_{\Delta MBC}}+{{S}_{\Delta ABC}}+{{S}_{\Delta NAC}}+{{S}_{\Delta ABC}}+{{S}_{\Delta PAB}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}$
$=3+\dfrac{{{S}_{\Delta MBC}}+{{S}_{\Delta NAC}}+{{S}_{\Delta PAB}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}$
Lại có: $\widehat{MBD}=\widehat{MBC}=\widehat{MAC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $MC$)
$\Rightarrow \widehat{MBC}={{90}^{o}}-\widehat{AHE}={{90}^{o}}-\widehat{BHD}=\widehat{HBD}$.
Xét tam giác $HBD$ và tam giác $MBD$ có:
$\angle MBD=\angle HBD(cmt)$
$\angle BDH=\angle BDM={{90}^{{}^\circ }}$
$\Rightarrow \Delta HBD\sim\Delta MBD(g.g)$.
$\Rightarrow \dfrac{HD}{BD}=\dfrac{MD}{BD}\Rightarrow HD=MD$
$\Rightarrow {{S}_{\vartriangle HBC}}=\dfrac{1}{2}HD\cdot BC=\dfrac{1}{2}MD\cdot BC={{S}_{\Delta MBC}}$.
Chứng minh tương tự ta có:
${{S}_{\Delta NAC\text{ }}}={{S}_{\Delta HAC\text{ }}},{{S}_{\Delta PAB}}={{S}_{\Delta HAB\text{ }}}$.
$\Rightarrow \dfrac{AM}{AD}+\dfrac{BN}{BE}+\dfrac{CP}{CF}=3+\dfrac{{{S}_{\Delta MBC\text{ }}}+{{S}_{\Delta NAC\text{ }}}+{{S}_{\Delta PAB\text{ }}}}{{{S}_{\Delta ABC\text{ }}}}$
$=3+\dfrac{{{S}_{\Delta HBC\text{ }}}+{{S}_{\Delta HAC\text{ }}}+{{S}_{\Delta HAB\text{ }}}}{{{S}_{\Delta ABC\text{ }}}}=3+\dfrac{{{S}_{\Delta ABC\text{ }}}}{{{S}_{\Delta ABC\text{ }}}}=4$
Vậy $\dfrac{AM}{AD}+\dfrac{BN}{BE}+\dfrac{CP}{CF}=4$.
Câu 5 (1,00 điểm):
ĐKXĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 1 \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\\{3{x^2} + 4x + 1 \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1}\\{x \ge 1}\end{array}} \right.} \right.\)
Dễ thấy $x=-1$ là một nghiệm của phương trình.
Với $x \neq-1$ ta có:
$\sqrt{x^{2}-1}-\sqrt{3 x^{2}+4 x+1}=(8-2 x) \sqrt{x+1}$
$\Leftrightarrow \sqrt{(x-1)(x+1)}-\sqrt{(x+1)(3 x+1)}=(8-2 x) \sqrt{x+1}$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+1} \cdot(\sqrt{x-1}-\sqrt{3 x+1}-8+2 x)=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{x-1}-\sqrt{3 x+1}-8+2 x=0$ (1) (Do $x \geq 1$ ).
$\Leftrightarrow(\sqrt{x-1}-2)+(4-\sqrt{3 x+1})+(2 x-10)=0$
$\Leftrightarrow \dfrac{x-5}{\sqrt{x-1}+2}+\dfrac{15-3 x}{4+\sqrt{3 x+1}}+2(x-5)=0$
$\Leftrightarrow \dfrac{x-5}{\sqrt{x-1}+2}-3 \cdot \dfrac{x-5}{4+\sqrt{3 x+1}}+2(x-5)=0$
$\Leftrightarrow(x-5)\left(\dfrac{1}{\sqrt{x-1}+2}-\dfrac{3}{4+\sqrt{3 x+1}}+2\right)=0$
Ta có $\sqrt{3 x+1}>0 \Rightarrow 4+\sqrt{3 x+1}>4 \Rightarrow \dfrac{-3}{4+\sqrt{3 x+1}}>\dfrac{-3}{4}$
$\sqrt{x-1} \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x-1}+2>0 \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{x-1}+2}>0$
$\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{x-1}+2}-\dfrac{3}{4+\sqrt{3 x+1}}+2>0-\dfrac{3}{4}+2>0$
Do đó ta có: $(x-5)\left(\dfrac{1}{\sqrt{x-1}+2}-\dfrac{3}{4+\sqrt{3 x+1}}+2\right)=0 \Leftrightarrow x-5=0 \Leftrightarrow x=5(T M)$
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\{-1 ; 5\}$.