Đề Toán tuyển sinh lớp 10 năm 2021 Hà Tĩnh - Kỳ thi vào lớp 10 năm 2021 tỉnh Hà Tĩnh chính thức được tổ chức. Trong bài viết này AIOMT Premium xin chia sẻ đáp án mã đề 01 môn toán thi tuyển sinh lớp 10 năm 2021 Hà Tĩnh, mời các bạn chú ý theo dõi.
Trích dẫn đề thi vào 10 môn Toán Quảng Ninh 2021
Câu 1.(2,0 điểm) Rút gon các biểu thức sau:
a) $P=\sqrt {45}+\sqrt {20}-\sqrt {5}$.
b) $Q=\left( \dfrac{1}{2\sqrt {x}+1}+\dfrac{1}{2\sqrt {x}-1} \right)\colon \dfrac{1}{1-4x}$, với $ x\ge 0,x\ne \dfrac{1}{4}$.
Câu 2.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng $Oxy$, cho hai đường thẳng $(d)\colon y=mx+3m+2$ và $( {d_1} )\colon y=x+1$. Tìm giá trị của $ m$ để hai đường thẳng .$(d)$. và $( {d_1} )$ song song với nhau.
Câu 3.(2,0 điểm) Cho phương trình ${x^2}-2(\text{m}+1)x+{m^2}=0$ ($m$ là tham số)
a) Giải phương trình với $ m=1$.
b) Tìm giá trị của $ m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thóa mãn: $ x_1^2+x_2^2+6=4{x_1}{x_2}$
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.(2,0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:
a) $P=\sqrt {45}+\sqrt {20}-\sqrt {5}$.
$P=\sqrt {45}+\sqrt {20}-\sqrt {5}$
$P=\sqrt {9\cdot 5}+\sqrt {4\cdot 5}-\sqrt {5}$
$P=3\sqrt {5}+2\sqrt {5}-\sqrt {5}=4\sqrt {5}$.
Vây $P=4\sqrt {5}$.
b) $Q=\left( \dfrac{1}{2\sqrt {x}+1}+\dfrac{1}{2\sqrt
{x}-1} \right)\colon \dfrac{1}{1-4x}$, với $ x\ge 0,x\ne \dfrac{1}{4}$.
$Q = \left( {\dfrac{1}{{2\sqrt x + 1}} + \dfrac{1}{{2\sqrt x - 1}}} \right):\dfrac{1}{{1 - 4x}}$
$Q = \dfrac{{2\sqrt x - 1 + 2\sqrt x + 1}}{{(2\sqrt x + 1)(2\sqrt x - 1)}}:\dfrac{1}{{1 - 4x}}$
$Q = \dfrac{{4\sqrt x }}{{4x - 1}}:\dfrac{1}{{1 - 4x}}$
$Q=\dfrac{4\sqrt {x}}{4x-1}\cdot (1-4x)=\dfrac{4\sqrt {x}}{-(1-4x)}\cdot (1-4x)=-4\sqrt {x}$
Vậy $Q=-4\sqrt {x}$, với $ x\ge 0,x\ne \dfrac{1}{4}$.
Câu 2.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng $Oxy$, cho hai đường thẳng $(d)\colon y=mx+3\text{m}+2$ và $( {d_1} )\colon y=x+1$. Tìm giá trị của $ m$ để hai đường thẳng .$(d)$. và $( {d_1} )$ song song với nhau.
Hai đường thẳng $(d)$ và $( {d_1} )$ song song với nhau khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{3m + 2 \ne 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{m \ne - \dfrac{1}{3}}\end{array} \Leftrightarrow m = 1} \right.} \right.\)
Vậy với $ m=1$ thì $(d)$ và $( {d_1} )$ song song với nhau.
Câu 3. (2,0 điểm) Cho phương trình ${x^2}-2(\text{m}+1)x+{m^2}=0$ (m là tham số)
a) Giải phương trình với $ m=1$.
Với $ m=1$,
phương trình đã cho trở thành ${x^2}-4x+1=0$..
Ta có ${\Delta }'={2^2}-1=3>0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = \dfrac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a} = 2 + \sqrt 3 }\\{{x_2} = \dfrac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a} = 2 - \sqrt 3 }\end{array}} \right.\).
Vậy khi $ m=1$ tập nghiệm của phương trình là $S=\{2\pm \sqrt {3}\}$.
b) Tìm giá trị của $ m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thóa mãn: $ x_1^2+x_2^2+6=4{x_1}{x_2}$
Ta có: $\Delta ' = {(m + 1)^2} - {m^2} = 2m + 1$.
Để phương trình đã cho có
2 nghiệm ${x_1},{x_2}$ thì ${\Delta }'\ge 0\Leftrightarrow
2m+1\ge 0\Leftrightarrow m\ge -\dfrac{1}{2}$.
Khi đó áp dụng định lí
Vi-ét ta có:
Theo bài ra ta có:
$ x_1^2+x_2^2+6=4{x_1}{x_2}$
$\Leftrightarrow {{( {x_1}+{x_2} )}^2}-2{x_1}{x_2}+6=4{x_1}{x_2}$
$\Leftrightarrow {{( {x_1}+{x_2} )}^2}-6{x_1}{x_2}+6=0$
$\Leftrightarrow 4{(m+1)^2}-6{m^2}+6=0$
$\Leftrightarrow -2{m^2}+8m+10=0(1)$
Ta có $ a-b+c=-2-8+10=0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân
biệt
Vậy có 1 giá trị của $ m$ thỏa mãn là $ m=5$.
Câu 4. (1,0 điểm) Giả sử giá tiền điện hàng tháng được tính theo bậc thang như sau:
Bậc 1: Từ $1kWh$ đến $100kWh$
thì giá điện là: 1500đ/kWh
Bậc 2: Từ $101kWh$ đến $150kWh$
thì giá điện là: 2000đ/kWh
Bậc 3: Từ $151kWh$ trở lên thì giá điện là: 4000đ/kWh
(Vi dụ: Nếu dùng $170kWh$ thi có $100kWh$
tính theo giá bậc 1, có $50kWh$ tính theo giá bâck
2 và có $20kWh$ tính theo giá bậc 3 ).
Tháng 4 năm 2021 tổng số
tiền điện của nhà bạn $A$ và nhà bạn $B$ là $560000$ đ.
So với tháng 4 thì tháng 5 tiền điện của nhà bạn $A$
tăng $30%$, nhà bạn $B$
tăng $20%$, do dó tổng số tiền điện của cả
hai nhà trong tháng 5 là $701000$ đ.
Hỏi tháng 4 nhà bạn $A$ phải trả bao nhiêu tiền
điện và dùng hết bao nhiêu $ kWh$ ? (biết rằng
số tiền điện ở trên không tính thuế giá trị gia tăng).
Gọi
số tiền điện nhà bạn $A$ phải trả trong tháng
4 là $ x(x>0)$ (đồng)
Số tiền điện nhà bạn $B$ phải trà trong tháng 4 là $ y(y>0)$ (đồng)
Theo bài ta có tổng số tiền
điện trong tháng 4 nhà bạn $A$ và nhà bạn $B$ phải trả là 560000 nên ta có phương trình $ x+y=560000(1)$
Số tiền điện trong tháng
5 nhà bạn $A$ phải trả là $ x+30\%x=1{,}3x$ (đồng)
Số tiền điện trong tháng
5 nhà bạn $B$ phải trả là: $ y+20\%y=1{,}2y$ (đồng)
Theo bài ta có tổng số tiền
điện trong tháng 5 nhà bạn $A$ và nhà bạn $B$ phải trả là 701000 nên ta có phương trình: $1{,}3x+1{,}2y=701000(2)$
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 560000}\\{1,3x + 1,2y = 701000}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 560000 - y}\\{1,3(560000 - y) + 1,2y = 701000}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 560000 - y}\\{728000 - 0,1y = 701000}\end{array}} \right.} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 560000 - y}\\{0,1y = 27000}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 290000}\\{y = 270000}\end{array}} \right.} \right.\)
Vậy số tiền điện nhà bạn $A$ phải trả trong tháng 4 là 290000 đồng.
Nhận thấy: $290000=100\cdot 1500+50\cdot 2000+10\cdot 4000$
Vậy số điện nhà bạn $A$ dùng trong tháng 4 là $100+50+10=160(kWh)$.
Câu 5.(1,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có độ dài cạnh $AB=3\text{cm}$, cạnh $AC=4\text{cm}$. Gọi $AH$ là đường cao của tam giác, tính diện tích tam giác $AHC$.
Áp dụng hệ thức lượng
trong tam giác vuông $ABC$ ta có:
$\dfrac{1}{A{H^2}}=\dfrac{1}{A{B^2}}+\dfrac{1}{A{C^2}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{A{H^2}}=\dfrac{1}{{3^2}}+\dfrac{1}{{4^2}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{A{H^2}}=\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{16}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{A{H^2}}=\dfrac{25}{144}$
$\Rightarrow AH=\dfrac{144}{25}$
$\Rightarrow AH=\dfrac{12}{5}(\text{cm})$
Áp dụng định li Pytago
trong tam giác vuông $AHC$ ta có:
$A{C^2}=A{H^2}+H{C^2}$
$\Rightarrow {4^2}={{( \dfrac{12}{5} )}^2}=H{C^2}$
$\Rightarrow H{C^2}=16-\dfrac{144}{25}$
$\Rightarrow H{C^2}=\dfrac{256}{25}$
$\Rightarrow HC=\dfrac{16}{5}(\text{cm})$
Vi tam giác $AHC$ vuông tại $H$ nên ${S_{\triangle AAC}}=\dfrac{1}{2}AH.HC=\dfrac{1}{2},\dfrac{12}{5}\cdot \dfrac{16}{5}=\dfrac{96}{25}( \text{c}{{\text{m}}^2} )$.
Câu 6. (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC(AB<AC)$ nội tiếp đường tròn tâm $O$; $E$ là điểm
chính giữa cung nhỏ $BC$.
a) Chứng minh $\widehat{CAE}=\widehat{BCE}$.
Vì $E$ là điểm chính giữa của cung nhỏ $BC$ nên $\operatorname{sdc}BE=\operatorname{sdc}CE$.
$\Rightarrow \widehat{CAE}=\widehat{BCE}$ (trong một đường tròn, hai góc nội tiếp chắn hai cung
bằng nhau thì bằng nhau).
b) Gọi $M$ là điểm trên cạnh $AC$
sao cho $EM=EC(M$ khác $C);N$ là giao điểm
của $BM$ với đường tròn tâm $O$ ($N$ khác $B$). Gọi $I$ là
giao diểm của $BM$ với $AE;K$ là giao diểm của $AC$ với
$EN$. Chứng minh tứ giác $EKMI$ nội tiếp.
Vì $EM=EC(gt)$, mà $EB=EC$(do $ sdcEB=sdcEC)\Rightarrow EB=EM.$
$\Rightarrow \triangle EBM$ cân tại $M\Rightarrow
\widehat{EBM}=\widehat{EMB}$ (2 góc ở đáy).
Ta có: $\widehat{EBM}+\widehat{ECN}=180^\circ $ ( 2 góc đối diện của tứ giác nội tiếp $BECN$ )
$\widehat{EMB}+\widehat{EMN}=180^\circ $ (kề bù)
$\Rightarrow \widehat{ECN}=\widehat{EMN}$.
Lại có $\widehat{ENC}=\widehat{ENM}$ ( 2 góc nội tiểp chắn hai cung bằng nhau)
$\Rightarrow \widehat{ECN}+\widehat{ENC}=\widehat{EMN}+\widehat{ENM}$
$\Rightarrow 180^\circ -\widehat{CEN}=180^\circ -\widehat{MEN}$
$\Rightarrow \widehat{CEN}=\widehat{MEN}$
$\Rightarrow EK$ là phân giác của $\widehat{MEC}$.
Mà tam giác $EMC$ cân tại $E(EM=EC)$ nên $EK$ đồng thời là đường cao $\Rightarrow
EK\perp MC$.
$\Rightarrow \widehat{EKM}=90^\circ $
$\Rightarrow \widehat{EAK}+\widehat{AEK}=90^\circ $
Mà $\widehat{EAK}=\widehat{EAC}=\widehat{BNE}$ ( 2 góc nội tiểp chắn hai cung bẳng nhau)
$\Rightarrow \widehat{BNE}+\widehat{AEK}=90^\circ \Rightarrow
\widehat{BNI}+\widehat{IEN}=90^\circ \Rightarrow
\widehat{EIN}$ vuông tại $I.$
$\Rightarrow \widehat{EIN}=90^\circ \Rightarrow
\widehat{EIM}=90^\circ $
Xét tứ giác $EKMI$ có: $\widehat{EKM}+\widehat{EIM}=90^\circ +90^\circ
=180^\circ $.
Vậy EKMI là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180^\circ $ ).
Câu 7. (1,0 điểm) Cho các số thực không âm $ a,b,c$ thỏa mãn: $ a+b+c=2021$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\sqrt {a+b}+\sqrt {b+c}+\sqrt {c+a}$.
Ta có: $P=\sqrt {a+b}+\sqrt {b+c}+\sqrt {c+a}$
$\Rightarrow {P^2}={(\sqrt {a+b}+\sqrt {b+c}+\sqrt {c+a})^2}\le 3(a+b+b+c+c+a)=6\cdot 2021=12126$ (BĐT Buniacopxki)
$\Rightarrow {P^2}\le
12126\Leftrightarrow P\le \sqrt {12126}$
Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow 2021 - c = 2021 - a = a + c \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = c}\\{2021 - a = 2a}\end{array} \Leftrightarrow a = c = \dfrac{{2021}}{3} = b} \right.\)
Vậy ${\mathrm{P}_{\max }}=\sqrt {12126}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{2021}{3} $