Trích dẫn đề thi vào lớp 10 môn Toán Hải Phòng 2021
Bạn Nam hiện có 50000 đồng. Để phục vụ cho việc học tập, bạn muốn mua một quyển sách tham khảo Toán có giá trị 150000 đồng. Vì thế, bạn Nam đã lên kế hoạch mỗi ngày tiết kiệm 5000 đồng. Gọi số tiền bạn Nam tiết kiệm được sau $x$ (ngày) (gồm cả tiền hiện có và tiến tiết kiệm được hàng ngày) là $y$ (đồng).
a) Lập công thíc tính $y$ theo $x$.
b) Hỏi sau bao nhiêu ngày bạn Nam có vừa đủ tiền để mua được quyển sách tham khảo Toán?
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1 (1,5 điểm)
a) $A=\sqrt{50}-3\sqrt{8}+\sqrt{{{(\sqrt{2}+1)}^{2}}}$
$A=\sqrt{{{5}^{2}}\cdot 2}-3\sqrt{{{2}^{2}}\cdot 2}+|\sqrt{2}+1|$
$A=5\sqrt{2}-3.2\sqrt{2}+\sqrt{2}+1($ Do $\sqrt{2}+1>0)$
$A=(5-6+1)\sqrt{2}+1$
$A=1$
Vậy $A=1$.
$B=\dfrac{x\sqrt{x}-\sqrt{x}}{x-1}+\dfrac{x-1}{\sqrt{x}+1}$ (vói $x\ge 0,x\ne 1$ ).
Với $x\ge 0,x\ne 1$ ta có:
$B=\dfrac{x\sqrt{x}-\sqrt{x}}{x-1}+\dfrac{x-1}{\sqrt{x}+1}$
$B=\dfrac{\sqrt{x}(x-1)}{x-1}+\dfrac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}+1}$
$B=\sqrt{x}+\sqrt{x}-1$
$B=2\sqrt{x}-1$
Vậy với $x\ge 0,x\ne 1$ thì $B=2\sqrt{x}-1$.
b) Điều kiện: $x\ge 0,x\ne 1$
Ta có:
$A\le B\Leftrightarrow 1\le 2\sqrt{x}-1$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{x}\ge 2$
$\Leftrightarrow \sqrt{x}\ge 1$
$\Leftrightarrow x\ge 1$
Kết hợp với điều kiện ta được $x>1$ thì $A\le B$.
Vậy $x>1$ thì $A\le B$.
Bài 2 (1,5 điểm)
1. Điều kiện $y>0$.
Đặt $\dfrac{1}{\sqrt{y}}=t(t>0)$
Khi đó ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + t = 3}\\{x - t = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x = 3}\\{x = t}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{t = 1(tm)}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
$\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{y}}=1\Leftrightarrow \sqrt{y}=1\Leftrightarrow y=1(tm)$
Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(1;1)$
2. a) Điều kiện: $x\in \mathbb{N},y\ge 50000$.
Sau $x$ ngày, bạn Nam tiết kiệm được số tiền là: $5000x$ (đồng).
Như vậy tổng số tiền bạn Nam có sau khi tiết kiệm được hàng ngày là: $y=50000+5000x$ (đồng).
Vậy $y=50000+5000x$ đồng.
b) Khi ban Nam đủ tiền mua sách thì bạn Nam cần có 150000 đồng nên ta có phương trình:
$50000+5000x=150000$
$\Leftrightarrow 5000x=100000$
$\Leftrightarrow x=20(tm)$
Vậy sau 20 ngày thì bạn Nam đủ tiền mua sách tham khảo môn Toán.
Bài 3 (2,5 điểm)
1. a) Thay $m=1$ vào phương trình $(1)$ ta có:
${{x}^{2}}-2(1+1)x+{{1}^{2}}+2=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+3=0$
Phương trình có: $a+b+c=1-4+3=0$
$\Rightarrow $ Phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}=1$ và ${{x}_{2}}=\dfrac{c}{a}=3.$
Vậy với $m=1$ thì phương trình có tập nghiệm là: $S=\{1;3\}$.
b) Xét phương trình ${{x}^{2}}-2(m+1)x+{{m}^{2}}+2=0$ (1)
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow {{\Delta }^{\prime }}>0$
$\Leftrightarrow {{(m+1)}^{2}}-\left( {{m}^{2}}+2 \right)>0$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m+1-{{m}^{2}}-2>0$
$\Leftrightarrow 2m-1>0$
$\Leftrightarrow m>\dfrac{1}{2}$
Với $m>\dfrac{1}{2}$ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$.
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2(m + 1)}\\{{x_1}{x_2} = {m^2} + 2}\end{array}} \right.\)
Theo đề bài ta có: $x_{1}^{2}+2(m+1){{x}_{2}}=12m+2$
$\Leftrightarrow x_{1}^{2}+\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right){{x}_{2}}=12m+2$
$\Leftrightarrow x_{1}^{2}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}+x_{2}^{2}=12m+2$
$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}=12m+2$
$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}=12m+2$
$\Leftrightarrow 4{{(m+1)}^{2}}-\left( {{m}^{2}}+2 \right)=12m+2$
$\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+8m+4-{{m}^{2}}-2=12m+2$
$\Leftrightarrow 3{{m}^{2}}-4m=0$
$\Leftrightarrow m(3m-4)=0$
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 0}\\{3m - 4 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 0(ktm)}\\{m = \dfrac{4}{3}(tm)}\end{array}} \right.} \right.\)
Vậy $m=\dfrac{4}{3}$ là thỏa mãn bài toán.
2. Đổi 20 phút $=\dfrac{1}{3}(h)$.
Quãng đường ô tô đi từ $A$ đến $B$ trong 20 phút là: $55\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{55}{3}(~km)$.
Gọi thời gian ô tô đi từ $B$ đến $A$ đi đến khi gặp ô tô đi từ $A$ đến $B$ là $x(h),(x>0)$.
$\Rightarrow $ Thời gian ô tô đi từ $A$ đến $B$ đi đến khi gặp ô tô đi từ $B$ đến $A$ là: $x+\dfrac{1}{3}(h)$.
$\Rightarrow $ Quãng đường ô tô đi từ $A$ đến $B$ đi được đến khi 2 xe gặp nhau là: $55\left( x+\dfrac{1}{3} \right)=55x+\dfrac{55}{3}(~km)$.
Quãng đường ô tô đi từ $B$ đến $A$ đi được đến khi 2 xe gặp nhau là: $45x(~km)$.
Quãng đường $AB$ dài $135~km$
Quãng đường ô tô đi từ $A$ đi trước ô tô đi từ $B$ là:
$55\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{55}{3}(~km)$
Đến lúc $9~h20$ phút hai xe còn cách nhau là:
$135-\dfrac{55}{3}=\dfrac{350}{3}(~km)$
Thời gian hai xe gặp nhau là:
$\dfrac{350}{3}:(55+45)=\dfrac{7}{6}(h)$
Đổi $\dfrac{7}{6}$ giờ = 1 giờ 10 phút
Thời điểm hai xe gặp nhau là:
9 giờ 20 phút $+1$ giờ 10 phút $=10$ giờ 30 phút
Vậy hai xe gặp nhau lúc 10 giờ 30 phút.
Bài 4 (0,75 điểm)
Thể tích của vật thể lúc đầu là: ${{V}_{1}}=\pi {{R}^{2}}h=\pi {{.6}^{2}}.6=216\pi \left( c{{m}^{3}} \right)$.
Thể tích của phần vật thể bị khoan là: ${{V}_{2}}=\pi {{r}^{2}}h=\pi \cdot {{2}^{2}}\cdot 6=24\pi \left( c{{m}^{3}} \right)$.
$\Rightarrow $ Thể tích phần còn lại của vật thể đã cho là: $V={{V}_{1}}-{{V}_{2}}=216\pi -24\pi =192\pi \left( c{{m}^{3}} \right)$.
Vậy thể tích phần còn lại của vật thể đã cho là $192\pi c{{m}^{3}}$.
Bài 5 (3 điểm)
a) Ta có: $AD,BE,CF$ lần lượt là các đường cao của $\Delta ABC$
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AD \bot BC}\\{BE \bot AC}\\{CF \bot AB}\end{array} \Rightarrow \widehat {ADC} = \widehat {BEC} = \widehat {BFC} = 90^\circ } \right.\)
Xét tứ giác $BCEF$ ta có: $\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90{}^\circ (cmt)$
$\Rightarrow BCEF$ là tứ giác nội tiếp. (Tứ giác có hai đỉnh kề 1 cạnh cùng nhìn cạnh đối diện dưới các góc bẳng nhau).
Xét tứ giác $CDHE$ ta có: $\widehat{CDH}+\widehat{CEH}=90{}^\circ +90{}^\circ =180{}^\circ $
$\Rightarrow BCEF$ là tứ giác nội tiếp. (Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng $180{}^\circ $ ).
b) Ta có: $BCEF$ là tứ giác nội tiếp $(cmt)$
$\Rightarrow \widehat{FEB}=\widehat{FCB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $BF$ )
Lại có: $CEHD$ là tứ giác nội tiếp $(cmt)$
$\Rightarrow \widehat{HED}=\widehat{HCD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $HD$ )
Hay $\widehat{FED}=\widehat{FCB}$
$\Rightarrow \widehat{FEB}=\widehat{BED}(=\widehat{FCB})$
$\Rightarrow EB$ là tia phân giác của $\widehat{FED}$. (dpcm)
Ta có: $BCEF$ là tứ giác nội tiếp (cmt)
$\Rightarrow \widehat{FBE}=\widehat{FCE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $EF$ )
Lại có: $CEHD$ là tứ giác nội tiếp $(cmt)$
$\Rightarrow \widehat{HDE}=\widehat{HCE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $EH$ )
Hay $\widehat{FCE}=\widehat{HDE}$
$\Rightarrow \widehat{FBE}=\widehat{HDE}(=\widehat{FCE})$
Xét $\Delta BFE$ và $\Delta DHE$ ta có:
$\widehat{FBE}=\widehat{HDE}(cmt)$
$\widehat{FEB}=\widehat{HED}(cmt)$
$\Rightarrow \Delta BFE\sim\Delta DHE(g-g)($đpcm$)$.
c) Chứng minh: $HI=2HD$
$\Delta BFE\backsim \Delta DHE\Rightarrow \dfrac{BF}{DH}=\dfrac{FE}{HE}\Rightarrow \dfrac{BF}{HI}=\dfrac{FM}{HE}$
Lại có $\widehat{BFE}=\widehat{IHE}$($={{180}^{o}}-\widehat{BCA}$)
Suy ra $\Delta BFM\backsim \Delta IHE\left( c.g.c \right)$$\Rightarrow \widehat{FBM}=\widehat{HIK}$
Mà $\widehat{HIK}=\widehat{FBK}$$\Rightarrow B,K,M$ thẳng hàng.
Bài 6 (0,75 điểm)
\(\begin{array}{l}P = \dfrac{1}{{{x^2}}}\left( {{y^2} + {z^2}} \right) + {x^2}\left( {\dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}}} \right) + 2016 \ge \dfrac{{{y^2} + {z^2}}}{{{x^2}}} + \dfrac{{4{x^2}}}{{{y^2} + {z^2}}} + 2016\\ \Rightarrow P \ge \left( {\dfrac{{{y^2} + {z^2}}}{{{x^2}}} + \dfrac{{{x^2}}}{{{y^2} + {z^2}}}} \right) + \dfrac{{3{x^2}}}{{{y^2} + {z^2}}} + 2016\\\dfrac{{{y^2} + {z^2}}}{{{x^2}}} + \dfrac{{{x^2}}}{{{y^2} + {z^2}}} \ge 2\\{x^2} \ge {y^2} + {z^2} \Rightarrow \dfrac{{3{x^2}}}{{{y^2} + {z^2}}} \ge 3\\ \Rightarrow P \ge 2021 \Rightarrow {\mathop{\rm Min}\nolimits} P = 2021 \Leftrightarrow x = y\sqrt 2 = z\sqrt 2 \end{array}\)