Đề thi vào lớp 10 tỉnh An Giang môn Toán có đáp án chi tiết năm 2021 được tổ chức thi sáng 30/5 được cập nhật dưới đây.
Trích dẫn đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán An Giang 2021
Bài 1. (3,0 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau đây:
a. $\left(\sqrt{2}+1\right)x-\sqrt{2}=2$.
b. ${x^4}+{x^2}-6=0$.
c. $\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 11\\x - y = 4\end{array} \right.$.
Bài 2. (2,0 điểm) Cho hai hàm số $ y={x^2}$ có đồ thị là parabol $(P)$ và $ y=x+2$ có đồ thị là đường thẳng $(d)$.
a. Vẽ đồ thị $(P)$ và $(d)$ trên cùng một hệ trục tọa độ.
b. Bằng phép tính, tìm tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$.
Bài 1. (3,0 điểm)
Giải các phương trình và hệ phương trình sau đây:
a. $\left(\sqrt{2}+1\right)x-\sqrt{2}=2$.
b. ${x^4}+{x^2}-6=0$.
c. $\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 11\\x - y = 4\end{array} \right.$.
Lời giải
a. $\left(\sqrt{2}+1\right)x-\sqrt{2}=2$
$\Leftrightarrow \left(\sqrt{2}+1\right)x=2+\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}=\dfrac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+1\right)}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}$.
Vậy phương trình có nghiệm: $ x=\sqrt{2}$.
b. ${x^4}+{x^2}-6=0$ .
Đặt $ t={x^2}$, điều kiện ($ t\ge 0$).
Khi đó phương trình đã cho trở thành: ${t^2}+t-6=0$.
Ta có: $\Delta ={1^2}-4\cdot1\cdot(-6)=25>0$.
$\Rightarrow $ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
${t_1}=\dfrac{-1+\sqrt{25}}{2\cdot1}=2$ (thỏa điều kiện).
${t_2}=\dfrac{-1+\sqrt{25}}{2\cdot1}=-3$ (không thỏa điều kiện).
Với $ t=2$ $\Rightarrow {x^2}=2$$\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{2}$ .
c. \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 11\\x - y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 15\\x - y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 1\end{array} \right.\).
Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y)=(5;1)$.
Bài 2. (2,0 điểm)
Cho hai hàm số $ y={x^2}$ có đồ thị là parabol $(P)$ và $ y=x+2$ có đồ thị là đường thẳng $(d)$.
a. Vẽ đồ thị $(P)$ và $(d)$ trên cùng một hệ trục tọa độ.
b. Bằng phép tính, tìm tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$.
Lời giải:
a. Vẽ đồ thị $(P)$ và $(d)$ trên cùng một hệ trục tọa độ.
$\bullet$ Vẽ đồ thị hàm số $ y=x+2$.
Đồ thị hàm số $ y=x+2$ là đường thẳng đi qua điểm $(0;2)$ và điểm $(-1;1)$.
$\bullet$ Vẽ đồ thị hàm số $ y={x^2}$.
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
$ a=1>0$, hàm số đồng biến khi $ x>0$, hàm số nghịch biến khi $ x<0$.
Bảng giá trị:
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y=x^2$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ |
Đồ thị hàm số $ y={x^2}$ là đường cong Parabol đi qua gốc tọa độ $O$ và nhận $Oy$ làm trục đối xứng.
b. Bằng phép tính, tìm tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$.
Phương trình hoành độ giao điểm: ${x^2}=x+2$.
$\Leftrightarrow {x^2}-x-2=0$
$\Leftrightarrow x=2$, hoặc $ x=-1$
Với $ x=2\Rightarrow y=4$.
Với $ x=-1\Rightarrow y=1$.
Vậy toạ độ giao điểm của Parabol $(P)$ và đường thẳng $ d$ là: $(2;4)$ và $(-1;1$).
Bài 3. (2,0 điểm)
Cho phương trình bậc hai ${x^2}-2(m-1)x+{m^2}-3m-4=0$ ($ m$ là tham số, $ x$ là ẩn số).
a. Tìm $ m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$.
b. Đặt $A=x_1^2+x_2^2-{x_1}{x_2}$. Tính $A$ theo $ m$ và tìm $ m$ để $A=18$
Lời giải:
a. Tìm $ m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$,${x_2}$.
${x^2}-2(m-1)x+{m^2}-3m-4=0$ (*).
$\Delta '={{(m-1)}^2}-({m^2}-3m-4)={m^2}-2m+1-{m^2}+3m+4=m+5$.
Để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta '>0$ hay $ m+5>0\Leftrightarrow m>-5$.
Vậy với $ m>-5$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$.
b. Đặt $A=x_1^2+x_2^2-{x_1}{x_2}$. Tính $A$ theo $ m$ và tìm $ m$ để $A=18$
Theo hệ thức Vi – ét, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a} = 2\left( {m - 1} \right) = 2m - 2\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = {m^2} - 3m - 4\end{array} \right.\)
Theo đề bài, ta có:
$\begin{array}{l}A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2}\\ = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - {x_1}{x_2}\\ = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2}\\ = {\left( {2m - 2} \right)^2} - 3.\left( {{m^2} - 3m - 4} \right)\\ = 4{m^2} - 8m + 4 - 3{m^2} + 9m + 12\\ = {m^2} + m + 16\end{array}$
Với $A=8\Rightarrow {m^2}+m+16=18$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} + m + 16 - 18 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m + 2} \right)\left( {m - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 2 = 0\\m - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 2\left( {tm} \right)\\m = 1\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}$
Vậy $ m=-2$ và $ m=1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 4. (2,0 điểm)
Cho bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ theo thứ tự lần lượt nằm trên nửa đường tròn đường kính $AD$. Gọi $E$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Kẻ $EF$ vuông góc với $AD$ ( $F$ thuộc $AD$ ).
a. Chứng minh tứ giác $ABEF$ nội tiếp.
b. Chứng minh $BD$ là tia phân giác của góc $CBF$.
Lời giải:
a. Chứng minh tứ giác $ABEF$ nội tiếp.
Ta có: $\widehat{ABD}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính $AD$
$\Rightarrow \widehat{ABD}=90^\circ$ hay $\widehat{ABE}=90^\circ$
Xét tứ giác $ABEF$ ta có: $\widehat{ABE}+\widehat{AFE}=90^\circ+90^\circ=180^\circ$
$\Rightarrow ABEF$ là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng $180^\circ$)
b. Chứng minh $BD$ là tia phân giác của góc $CBF$.
Vì $ABEF$ là tứ giác nội tiếp (cmt)$\Rightarrow \widehat{FBE}=\widehat{FAE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $EF$ )
Hay $\widehat{CAD}=\widehat{FBD}$.
Lại có: $\widehat{CBD}=\widehat{CAD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $CD$)
$\Rightarrow \widehat{CBD}=\widehat{FBD}(=\widehat{CAD})$
$\Rightarrow BD$ là phân giác của $\widehat{FBC}$(đpcm).
b. Chứng minh $BD$ là tia phân giác của góc $CBF$.
Vì $ABEF$ là tứ giác nội tiếp (cmt)$\Rightarrow \widehat{FBE}=\widehat{FAE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $EF$ )
Hay $\widehat{CAD}=\widehat{FBD}$.
Lại có: $\widehat{CBD}=\widehat{CAD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $CD$)
$\Rightarrow \widehat{CBD}=\widehat{FBD}(=\widehat{CAD})$
$\Rightarrow BD$ là phân giác của $\widehat{FBC}$ (đpcm).
Bài 5. (1,0 điểm)
Một bức tường được xây bằng các viên gạch hình chữ nhật bằng nhau và được bố trỉ như hình vẽ bên. Phần sơn màu (tô đậm) là phần ngoài của một hình tam giác có cạnh đáy $10\text{dm}$ và chiều cao $6\text{dm}$. Tính diện tích phần tô đậm.
Lời giải:
Chiều rộng của một viên gạch là: $6\colon 4=1{,}5(dm)$.
Chiều dài của một viên gạch là: $10\colon 5=2(dm)$.
Diện tích của một viên gạch là: $1{,}5\cdot 2=3(d{m^2})$.
Tồng số viên gạch để xây bức tường là: $2+3+4+5=14$ (viên).
Diện tích của bức tường đă xây là. $3\cdot 14=42(d{m^2})$.
Diện tích tam giác trong hình là: $\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot 10=30(d{m^2})$.
Diện tích phần sơn màu là: $42-30=12(d{m^2})$.