ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 HƯNG YÊN 2020

Thời gian làm bài:

Câu 1. Cho hàm số $y=-5x^2$. Kết luận nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến khi $x< 0$, nghịch biến khi $x>0$.
B. Hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.
C. Hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
D. Hàm số nghịch biến khi $x< 0$, đồng biến khi $x>0$.

Lời giải câu 1
Hàm số đồng biến khi $x< 0$, nghịch biến khi $x>0$

Câu 2. Biệt thức $\Delta^\prime$ của phương trình $4x^2-2mx-1=0$ là
A. $4m^2-16$.
B. $m^2-4$.
C. $4m^2+16$.
D. $m^2+4$.

Lời giải câu 2
Ta có $\Delta^\prime=(-m)^2-4\cdot (-1)=m^2+4$.

Câu 3. Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\dfrac{1}{A H^2}=\dfrac{1}{A B^2}+\dfrac{1}{A C^2}$.
B. $\dfrac{1}{A H^2}=\dfrac{1}{A B^2} \cdot \dfrac{1}{A C^2}$.
C. $\dfrac{1}{A H^2}=\dfrac{1}{A B}+\dfrac{1}{A C}$.
D. $\dfrac{1}{A H^2}=\dfrac{1}{A B^2}-\dfrac{1}{A C^2}$.

Lời giải câu 3

Câu 4. Trong đường tròn $(O;2\rm{cm})$, dây lớn nhất có độ dài bằng
A. 3cm.
B. 4cm.
C. 5cm.
D. 6cm.

Lời giải câu 4
Dây cung lớn nhất là đường kính $d=2R=4$cm.

Câu 5. Tìm điều kiện xác định của biểu thức $\dfrac{1}{\sqrt[3]{x-1}}$.
A. $x\ne 1$.
B. $x>1$.
C. $x< 1$.
D. $x\geqslant 1$.

Lời giải câu 5

Câu 6. Hình trụ có bán kính đáy $r$, chiều cao $h$ có thể tích là
A. $\dfrac{1}{3} \pi r^2 h$.
B. $\dfrac{4}{3} \pi r^2 h$.
C. $2 \pi r h$.
D. $\pi r^2 h$.

Lời giải câu 6
Ta có $V=\pi r^2 h$.

Câu 7. Đường thẳng nào sau đây song song với đường thẳng $y=5x+2$?
A. $y=-2 x+3$.
B. $y=-5 x+8$.
C. $y=2 x+1$.
D. $y=5 x+8$.

Lời giải câu 7

Câu 8. Phương trình $4x-3y=1$ nhận cặp số nào sau đây là một nghiệm?
A. $(1;-1)$.
B. $(-1;1)$.
C. $(1;1)$.
D. $(-1;-1)$.

Lời giải câu 8

Câu 9. Giá trị của hàm số $y=3x^2$ tại $x=4$ là
A. 24.
B. 16.
C. 12.
D. 48.

Lời giải câu 9

Câu 10. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$, biết $\widehat{DBC}=70^\circ$, khi đó $\widehat{DAC}$ bằng
A. $140^\circ$.
B. $55^\circ$.
C. $70^\circ$.
D. $35^\circ$.

Lời giải câu 10
Ta có $\widehat{DBC}=\widehat{DAC}=70^\circ$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\stackrel\frown{DC}$)

Câu 11. Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn $x$, $y$?
A. $x^2-x y+y^2=0$.
B. $x-y=1$.
C. $x-\sqrt{y}=0$.
D. $x-\dfrac{1}{y}=1$.

Lời giải câu 11

Câu 12. Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh $\ell=5$cm, bán kính đáy $r=4$cm bằng
A. $20\pi\ \rm{cm}^2$.
B. $40\pi\ \rm{cm}^2$.
C. $16\pi\ \rm{cm}$.
D. $12\pi\ \rm{cm}^2$.

Lời giải câu 12
$S_{\text{xq}}=\pi r\ell=\pi\cdot 4\cdot 5=20\pi$ (cm$^2$).

Câu 13. Với góc nhọn $\beta$ tùy ý, khẳng định nào sau đây sai?
A. $\sin^2 \beta+\cos^2 \beta=1$.
B. $\tan \beta \cdot \cot \beta=1$.
C. $\cot \beta=\dfrac{\sin \beta}{\cos \beta}$.
D. $\tan \beta=\dfrac{\sin \beta}{\cos \beta}$.

Lời giải câu 13

Câu 14. Cho hai đường tròn $(O;R)$ và $(I;r)$ (với $R>r$) tiếp xúc ngoài, khi đó ta có
A. $O I>R+r$.
B. $R-r< O I< R+r$.
C. $O I=R+r$.
D. $O I=R-r$.

Lời giải câu 14

Câu 15. Giá trị của biểu thức $3\sqrt{27}-\sqrt{12}$ bằng
A. $11\sqrt{3}$.
B. $7\sqrt{3}$.
C. $2\sqrt{15}$.
D. $\sqrt{3}$.

Lời giải câu 15
Ta có $3\sqrt{27}-\sqrt{12}=9\sqrt{3}-2\sqrt{3}=7\sqrt{3}$.

Câu 16. Có bao nhiêu đường tròn đi qua 2 điểm phân biệt?
A. Hai đường tròn.
B. Một đường tròn.
C. Không có đường tròn nào.
D. Vô số đường tròn.

Lời giải câu 16
Có vô số đường tròn đi qua hai điểm phân biệt. Tâm của đường tròn đi qua hai điểm đó nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Câu 17. Trong hình vẽ bên, $\sin Q$ bằng
A. $\dfrac{PR}{QR}$.
B. $\dfrac{QR}{PR}$.
C. $\dfrac{QR}{PQ}$.
D. $\dfrac{PR}{PQ}$.

Lời giải câu 17

Câu 18. Tích hai nghiệm của phương trình $x^2-3x-5=0$ bằng
A. 5.
B. $-3$.
C. $-5$.
D. 3.

Lời giải câu 18
Theo hệ thức Vi-ét $x_1x_2=\dfrac{-5}{1}=-5$.

Câu 19. Trong các hệ phương trình sau đây, hệ phương trình nào vô nghiệm?
A. $\left\{\begin{aligned}&3x-2y=5\\&5x-3y=1 \end{aligned}\right.$.
B. $\left\{\begin{aligned}&5x-3y=1\\&5x+2y=2 \end{aligned}\right.$.
C. $\left\{\begin{aligned}&3x-2y=5\\&6x-4y=10 \end{aligned}\right.$.
D. $\left\{\begin{aligned}&x-y=1\\&3x-3y=2 \end{aligned}\right.$.

Lời giải câu 19
Vì $\dfrac{1}{3}=\dfrac{-1}{-3}\ne \dfrac{1}{2}$ nên hệ phương trình $\left\{\begin{aligned}&x-y=1\\&3x-3y=2 \end{aligned}\right.$ vô nghiệm.

Câu 20. Tìm điều kiện xác định của biểu thức $\sqrt{x-3}$.
A. $x\leqslant 3$.
B. $x\geqslant 3$.
C. $x\ne 3$.
D. $x>3$.

Lời giải câu 20
Biểu thức $\sqrt{x-3}$ xác định khi và chỉ khi $x-3\geqslant 0\Leftrightarrow x\geqslant3$.

Câu 21. Tìm $a$ để điểm $M(-2;4)$ thuộc đồ thị hàm số $y=ax^2$ ($a\ne 0$).
A. $a=1$.
B. $a=-1$.
C. $a=-2$.
D. $a=\dfrac{-1}{8}$.

Lời giải câu 21
Điểm $M(-2;4)$ thuộc đồ thị hàm số $y=ax^2$ nên \[4=a\cdot (-2)^2\Leftrightarrow a=1. \]

Câu 22. Trong hình vẽ bên, biết sđ$\stackrel\frown{AmD}=80^\circ$ và sđ$$\stackrel\frown{CnB}$=30^\circ$. Số đo $\widehat{AED}$ bằng
A. $25^\circ$.
B. $35^\circ$.
C. $30^\circ$.
D. $50^\circ$.

Lời giải câu 22
$\widehat{AED}=\dfrac{80^\circ-30\cdot}{2}=25^\circ$.

Câu 23. CHÈN HÌNH CÂU 23
Có bao nhiêu tứ giác nội tiếp được đường tròn trong các hình vẽ dưới đây Hình 1
Hình 2
Hình 3
Hình 4
A. 3.
B. 4.
C. 2.
D. 1.

Lời giải câu 23
Các tứ giác ở hình 1, hình 2 và hình 3 nội tiếp được đường tròn vì có tổng hai góc đối bằng $180^\circ$.

Câu 24. Thể tích hình cầu có bán kính $R=4$cm là
A. $64\pi\ \rm{cm}^3$.
B. $\dfrac{64}{3}\pi\ \rm{cm}^3$.
C. $\dfrac{256}{3}\pi\ \rm{cm}^3$.
D. $256\pi\ \rm{cm}^3$.

Lời giải câu 24
Ta có $V=\dfrac{4}{3}\pi R^3=\dfrac{256}{3}\pi\ \rm{cm}^3$.

Câu 25. Gọi $(x_0;y_0)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{aligned}&x+2y=1\\&x+y=3 \end{aligned}\right.$. Tính $S=x_0y_0$.
A. $S=-10$.
B. $S=3$.
C. $S=-7$.
D. $S=10$.

Lời giải câu 25
Hệ phương trình $\left\{\begin{aligned}&x+2y=1\\&x+y=3 \end{aligned}\right.$ có nghiệm duy nhất $(x;y)=(5;-2)$ nên \[S=x_0y_0=5\cdot (-2)=-10. \]

Câu 26. Tìm $m$ để phương trình $x^2-2(m+1) x+m-5=0$ có hai nghiệm trái dấu
A. $m>5$.
B. $m\leqslant 5$.
C. $m< 5$.
D. $m\geqslant 5$.

Lời giải câu 26
Phương trình $x^2-2(m+1) x+m-5=0$ có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi \[a\cdot c< 0\Rightarrow 1\cdot (m-5)< 0\Leftrightarrow m< 5. \]

Câu 27. Với $a>b$, biểu thức $\dfrac{1}{a-b} \cdot \sqrt{3^2(a-b)^2}$ có kết quả rút gọn là
A. $-\sqrt{3}$.
B. $\sqrt{3}$.
C. 3.
D. $-3$.

Lời giải câu 27
Ta có $\dfrac{1}{a-b} \cdot \sqrt{3^2(a-b)^2}=\dfrac{1}{a-b}\cdot 3|a-b|=\dfrac{3}{a-b}\cdot (a-b)=3$ (vì $a>b$ nên $a-b>0$).

Câu 28. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên $\mathbb{R}$?
A. $y=-2x-3$.
B. $y=-x^2$.
C. $y=x^2$.
D. $y=2x-3$.

Lời giải câu 28

Câu 29. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất?
A. $y=2 \sqrt{x}+1$.
B. $y=x^2+1$.
C. $y=2 x+5$.
D. $y=1-\dfrac{1}{x}$.

Lời giải câu 29

Câu 30. Gọi $x_1$, $x_2$ là hai nghiệm của phương trình $x^2+2 x-1=0$. Tính $T=x_1+x_2+3 x_1 x_2$.
A. $T=-1$.
B. $T=-5$.
C. $T=-4$.
D. $T=-2$.

Lời giải câu 30
Theo hệ thức Vi-ét, ta có $\left\{\begin{aligned}&x_1+x_2=-2\\&x_1x_2=-1 \end{aligned}\right.$. Khi đó \[T=x_1+x_2+3 x_1 x_2=-2+3\cdot (-1)=-5. \]

Câu 31. Nếu $\sqrt{5+\sqrt{x}}=4$ thì $x$ bằng
A. 16.
B. 121.
C. $\sqrt{11}$.
D. 11.

Lời giải câu 31
$\sqrt{5+\sqrt{x}}=4\Leftrightarrow 5+\sqrt{x}=16\Leftrightarrow\sqrt{x}=11\Leftrightarrow x=121$.

Câu 32. Trong hình vẽ bên, với đường tròn $(O)$ thì $\stackrel\frown{ABC}$ là
A. góc có đỉnh ở bên trong đường tròn.
B. góc ở tâm.
C. góc nội tiếp.
D. góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.

Lời giải câu 32

Câu 33. Trong các hình vẽ dưới đây có bao nhiêu hình vẽ góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung? Hình 1
Hình 2
Hình 3
Hình 4
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.

Lời giải câu 33
Hình 2, hình 3 và hình 4 là các góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.

Câu 34. Tìm $a$ và $b$ để $(x;y)=(1;1)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{aligned}&ax+y=2\\&3x+by=5. \end{aligned}\right.$
A. $a=1$; $b=2$.
B. $a=-1$; $b=2$.
C. $a=-1$; $b=-2$.
D. $a=1$; $b=-2$.

Lời giải câu 34
Vì $(x;y)=(1;1)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{aligned}&ax+y=2\\&3x+by=5 \end{aligned}\right.$ nên \[\left\{\begin{aligned}&a+1=2\\&3+b=5 \end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}&a=1\\&b=2. \end{aligned}\right. \]

Câu 35. Tìm $m$ để hàm số $y=(m-3)x+5$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
A. $m>3$.
B. $m< 3$.
C. $m\ne 3$.
D. $m=3$.

Lời giải câu 35
Hàm số $y=(m-3)x+5$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $m-3< 0\Leftrightarrow m< 3$.

Câu 36. Gọi $A$, $B$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $y=2x-4$ với hai trục tọa độ $Oxy$. Diện tích của tam giác $AOB$ bằng
A. 4.
B. 8.
C. 16.
D. 2.

Lời giải câu 36
Giao điểm của đường thẳng $y=2x-4$ với $Ox$ là $A(2;0)\Rightarrow OA=2$. Giao điểm của đường thẳng $y=2x-4$ với $Oy$ là $B(0;-4)\Rightarrow OB=4$. Diện tích $\triangle OAB$: $S=\dfrac{1}{2}OA\cdot OB=\dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 4=4$ (đvdt).

Câu 37. Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ $O$ đến đường thẳng $(d): y=(m-1) x+2 m$ là
A. 2.
B. $\sqrt{2}$.
C. $2\sqrt{2}$.
D. 1.

Lời giải câu 37
Giao điểm của đường thẳng $(d)$ với $Ox$ là $A\left(\dfrac{-2m}{m-1};0\right)\Rightarrow OA=\bigg|\dfrac{-2m}{m-1}\bigg|$. Giao điểm của đường thẳng $(d)$ với $Oy$ là $B(0;2m)\Rightarrow OB=|2m|$. Gọ $H$ là hình chiếu của $O$ lên đường thẳng $(d)$. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có \[\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}=\dfrac{(m-1)^2}{4m^2}+\dfrac{1}{4m^2}=\dfrac{(m-1)^2+1}{4m^2}\Rightarrow OH^2=\dfrac{4m^2}{(m-1)^2+1}. \] Ta có $OH^2-8=\dfrac{4m^2}{(m-1)^2+1}-8=\dfrac{4m^2-8(m^2-2m+1)-8}{(m-1)^2+1}=\dfrac{-4m^2+16m-16}{(m-1)^2+1}=\dfrac{-4(m-2)^2}{(m-1)^2+1}\leqslant 0$.
$\Rightarrow OH^2\leqslant 8\Rightarrow OH\leqslant 2\sqrt{2}$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $m=2$.
Vậy Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ $O$ đến đường thẳng $(d): y=(m-1) x+2 m$ là $2\sqrt{2}$.

Câu 38. Có bao nhiêu giá trị của $x$ để $A=\dfrac{3 \sqrt{x}+7}{\sqrt{x}+1}$ (với $x\geqslant 0$) nhận giá trị nguyên?
A. 4.
B. 0.
C. 6.
D. 3.

Lời giải câu 38
Ta có $A=\dfrac{3 \sqrt{x}+7}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{3 \sqrt{x}+3+4}{\sqrt{x}+1}=3+\dfrac{4}{\sqrt{x}+1}$.
Để $A$ nguyên thì $\dfrac{4}{\sqrt{x}+1}$ nguyên, suy ra $\sqrt{x}+1 \in$ Ư$(4)$ \[\Rightarrow \sqrt{x}+1 \in\{-4;-2;-1;1;2;4\}\Leftrightarrow\sqrt{x} \in\{-5;-3;-2;0;1;3\} \] Mà $\sqrt{x}\geqslant 0$, với mọi $x\geqslant 0$ nên $\sqrt{x} \in\{0;1;3\}\Leftrightarrow x\in \{0;1;9\}$.
Vậy có 3 số nguyên $x$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 39. Cho nửa đường tròn $(O;5\rm{cm})$, dây $CD$ cách tâm $O$ một khoảng bằng 3cm. Khi đó độ dài dây $CD$ là
A. $\sqrt{34}$cm.
B. 8cm.
C. 2cm.
D. 4cm.

Lời giải câu 39
Vì $OH\perp CD$ nên $H$ là trung điểm của $CD$ (tính chất đường kính và dây cung).
$\Rightarrow HC=\sqrt{5^2-3^2}=4$ (cm).
$\Rightarrow CD=2HC=8$ (cm).

Câu 40. Cho hai nửa đường tròn đường kính $AB$ và $BC$ tiếp xúc nhau tại $B$ (xem hình vẽ bên), biết $AB=BC=24$, $CD$ là tiếp tuyến của nửa đường tròn $(O)$ ($D$ là tiếp điểm), $CD$ cắt nửa đường tròn $(O')$ tại $E$, gọi $H$ là trung điểm của $CE$, $F$ là điểm chính giữa của $\stackrel\frown{CE}$. Tính $HF$.
A. $HF=16$.
B. $HF=6$.
C. $HF=10$.
D. $HF=8$.

Lời giải câu 40
Vì $F$ là điểm chính giữa của $\stackrel\frown{CE}$ nên $O'$, $H$, $F$ thẳng hàng.
Ta có $O'H$ là đường trung bình của $\triangle CEB$ nên $O'H=\dfrac{1}{2}BE$ hay $BE=2O'H$.
Lại có $\widehat{BEC}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $(O')$) nên $BE\perp CD$.
$\Rightarrow OD\parallel BE\parallel O'H$ (cùng vuông góc với $CD$) nên $ODHO'$ là hình thang vuông, có $BE$ là đường trung bình ($B$ là trung điểm của $OO'$). Do đó \[BE=\dfrac{OD+O'H}{2}\Leftrightarrow 2O'H=\dfrac{OD+O'H}{2}\Leftrightarrow O'H=\dfrac{OD}{3}=4\ (\mathrm{cm}). \] $\Rightarrow HF=O'F-O'H=12-4=8$ (cm).

Câu 41. Giá trị nhỏ nhất của $y=2020+\sqrt{2 x^2-4 x+3}$ bằng
A. 2021.
B. 2020.
C. $2020+\sqrt{3}$.
D. $2020+\sqrt{2}$.

Lời giải câu 41
Ta có $y=2020+\sqrt{2 x^2-4 x+3}=2020+\sqrt{2(x-1)^2+1}\geqslant 2021$.

Câu 42. Tìm $m$ để hệ phương trình $\left\{\begin{aligned}&x-y=3\\&2x+y=3m \end{aligned}\right.$ có nghiệm $(x;y)$ thỏa mãn $x>0$ và $y>0$.
A. $m>-1$.
B. $m< 2$.
C. $m< -1$.
D. $m>2$.

Lời giải câu 42
Hệ phương trình $\left\{\begin{aligned}&x-y=3\\&2x+y=3m \end{aligned}\right.$ có nghiệm $(x;y)=\left(m+1;m-2\right)$.
Để $x>0$ và $y>0$ thì $\left\{\begin{aligned}&m+1>0\\&m-2>0 \end{aligned}\right.\Leftrightarrow m>2$.

Câu 43. Tam giác $DEF$ cân tại $D$, đường cao $DK$ và $EH$ cắt nhau tại $O$. Đường tròn $(O;OH)$ cắt $DK$ tại $P$ và $Q$ (tham khảo hình vẽ bên). Biết $DE=DF=\sqrt{3}$ và $DP=QK$. Tính $OH$.
A. $O H=\dfrac{\sqrt{6}}{6}$.
B. $O H=\sqrt{6}$.
C. $O H=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
D. $O H=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$.

Lời giải câu 43
Vì $DP = QK$ và $OP=OQ$ (bằng bán kính đường tròn $(O)$) nên $DO = OK$.
Ta có $\tan^2 E = \tan E\cdot \tan F = \dfrac{DK^2}{EK\cdot FK}$.
Xét $\triangle EKO$ và $\triangle DHF$ có $\widehat{EKO}=\widehat{DKF}=90^\circ$. $\widehat{OEK}=\widehat{KDF}$ (cùng phụ với $\widehat{F}$). $\Rightarrow \triangle EKO\backsim\triangle DKF$ (góc - góc)
$\Rightarrow \dfrac{EK}{DK}=\dfrac{OK}{KF}\Rightarrow KE\cdot KF=KO\cdot KD=\dfrac{1}{2}KD^2\Rightarrow\dfrac{DK^2}{DE\cdot DF}=2$. Do đó $\tan^2 E = 2$.
Áp dụng công thức $1+\tan^2 E = \dfrac{1}{\cos^2E}$ ta được $\cos^2 E = \dfrac{1}{3}\Rightarrow \cos E=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
Mà $\cos E=\dfrac{EK}{DE}$ nên $\dfrac{EK}{\sqrt{3}} =\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ hay $EK = 1$.
Áp dụng định lý Pi-ta-go ta tính được \[DO=\dfrac{DK}{2}=\dfrac{\sqrt{DE^2-EK^2}}{2}= \dfrac{\sqrt{2}}{2}. \] Lại có $\cos E=\cos F=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \sin \widehat{KDF}=\sin \widehat{HDO}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
Từ đó tính được $OH=DO\cdot \sin \widehat{HDO}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}}= \dfrac{\sqrt{6}}{6}$.

Câu 44. Cho $S$ là tập các giá trị của $m$ để đường thẳng $y=mx+2$ cắt trục $Ox$ và trục $Oy$ lần lượt tại $A$ và $B$ sao cho tam giác $AOB$ cân. Tính tổng các phần tử của $S$.
A. 2.
B. 1.
C. 0.
D. $-1$.

Lời giải câu 44
Đường thẳng $y=mx+2$ cắt trục $Ox$ tại $A\left(\dfrac{-2}{m};0\right)$. Đường thẳng $y=mx+2$ cắt trục $Oy$ tại $B\left(0;2\right)$. $\triangle OAB$ cân nên $OA=OB$, suy ra $\bigg|\dfrac{-2}{m}\bigg|=|2|\Leftrightarrow m=\pm 1$.
$\Rightarrow S=1+(-1)=0$.

Câu 45. Cho $x>0$, $y>0$ và $S=4 x^2+y^2+\dfrac{8}{x}+\dfrac{54}{y}$. Khi biểu thức $S$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $T=2x+y$ có giá trị bằng
A. 5.
B. 9.
C. 7.
D. 3.

Lời giải câu 45
Ta có $S=4 x^2+y^2+\dfrac{8}{x}+\dfrac{54}{y}=4 x^2+\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{x}+y^2+\dfrac{27}{y}+\dfrac{27}{y}$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có \begin{eqnarray*} &&4 x^2+\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{x}\geqslant \sqrt[3]{4 x^2\cdot\dfrac{4}{x}\cdot\dfrac{4}{x}}=4;
&&y^2+\dfrac{27}{y}+\dfrac{27}{y}\geqslant \sqrt[3]{y^2\cdot\dfrac{27}{y}\cdot\dfrac{27}{y}}=9. \end{eqnarray*} $\Rightarrow S\geqslant 4+9=13$.
Dấu \lq\lq=\rq\rq\ xảy ra khi và chỉ khi $x=1$, $y=3$.
$\Rightarrow T=2\cdot 1+3=5$.

Câu 46. Tìm $m$ để đường thẳng $(d):y=x+m-3$ cắt parabol $(P):y=\dfrac{1}{2}x^2$ tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho $\triangle AOB$ vuông tại $O$ (với $O$ là gốc tọa độ).
A. $m=3$.
B. $m=5$.
C. $m=-3$, $m=-5$.
D. $m=3$, $m=5$.

Lời giải câu 46
Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \[\dfrac{1}{2}x^2=x+m-3\Leftrightarrow x^2-2x-2m+6=0.\tag{*} \] Để đường thẳng $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm $A$, $B$ phân biệt thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt, tức là \[\Delta'>0\Rightarrow 1+2m-6>0\Leftrightarrow m>\dfrac{5}{2}. \] Theo hệ thức Vi-ét ta có $\left\{\begin{aligned}&x_A+x_B = 2\\&x_A\cdot x_B = -2m + 6. \end{aligned}\right.$
Để tam giác $OAB$ vuông tại $O$ thì \begin{eqnarray*} OA^2 + OB^2 = AB^2&\Rightarrow &x_A^2+y_A^2 +x_B^2 + y_B^2 = (x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2
&\Leftrightarrow &x_A\cdot x_B + y_A\cdot y_B = 0
&\Leftrightarrow &x_A\cdot x_B + \dfrac{1}{2}x_A^2\cdot \dfrac{1}{2}x_B^2 = 0
&\Leftrightarrow &-2m+6+\dfrac{1}{4}(-2m+6)^2=0
&\Leftrightarrow &m^2-8m+15=0
&\Leftrightarrow &\left[\begin{aligned}&m=3\ (\text{nhận})\\&m=-5\ (\text{loại} \end{aligned}\right. \end{eqnarray*} Vậy $m=3$.

Câu 47. Một bồn cây có dạng hình tròn, bán kính 1m. Do yêu cầu mở rộng diện tích mà bồn cây được mở rộng bằng cách tăng bán kính thêm 0,5m. Tính diện tích tăng thêm của bồn cây đó (lấy $\pi\approx 3{,}14$ và kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân).
A. $3{,}9$m$^2$.
B. $4{,}0$m$^2$.
C. $1{,}6$m$^2$.
D. $3{,}1$m$^2$.

Lời giải câu 47
Gọi $S$ là diện tích tăng thêm của bồn cây.
Ta có $S=\pi\cdot 1{,}5^2-\pi\cdot 1^2=1{,}25\pi\approx 1{,}25\cdot 3{,}14\approx 3{,}9$ (m$^2$).

Câu 48. Trong hình vẽ bên, tam giác $ABC$ vuông tại $A$, cạnh $AB=10$cm, đường cao $AH=8$cm. Độ dài cạnh $BC$ bằng
A. $\dfrac{40}{3}$cm.
B. $6$cm.
C. $\dfrac{32}{3}$cm.
D. $\dfrac{50}{3}$cm.

Lời giải câu 48
Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có $BH=\sqrt{10^2-8^2}=6$ (cm).
$\Rightarrow BC=\dfrac{AB^2}{BH}=\dfrac{10^2}{6}=\dfrac{50}{3}$ (cm).

Câu 49. Một người mua hai thùng hàng A và B. Nếu thùng hàng A tăng giá 20% và thùng hàng B tăng giá 40% thì người đó phải trả 340 nghìn đồng. Nếu thùng hàng A giảm giá 10% và thùng hàng B giảm giá 20% thì người đó phải trả 220 nghìn đồng. Giá tiền thùng hàng A và thùng hàng B lúc đầu lần lượt là
A. 200 nghìn đồng, 50 nghìn đồng.
B. 140 nghìn đồng, 120 nghìn đồng.
C. 50 nghìn đồng, 200 nghìn đồng.
D. 120 nghìn đồng, 140 nghìn đồng.

Lời giải câu 49
Gọi $x$, $y$ (nghìn đồng) lần lượt là giá tiền của thùng hàng A và thùng hàng B lúc ban đầu, ($x,y>0$).
Theo đề bài, ta có hệ phương trình \[\left\{\begin{aligned}&1{,}2x+1{,}4y=340\\&0{,}9x+0{,}8y=220 \end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}&x=120\ (\text{nhận})\\&y=140\ (\text{nhận}). \end{aligned}\right. \]

Câu 50. Một học sinh dùng giác kế, đứng cách chân cột cờ là 10m rồi chỉnh mặt thước ngắm cao bằng mắt của mình để xác định góc "nâng" (góc tạo bởi tia sáng đi thẳng từ đỉnh cột cờ đến mắt tạo với phương nằm ngang). Khi đó, góc "nâng" đo được là $31^\circ$. Biết khoảng cách từ mặt sân đến mắt học sinh đó bằng 1,5m. Tính chiều cao của cột cờ (kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân).
A. 5,0m.
B. 6,0m.
C. 7,5m.
D. 16,6m.

Lời giải câu 50
Giả sử có $BC$ là chiều cao của cột cờ. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $OAB$, ta có \[AB=OA\cdot \tan 31^\circ=10\cdot \tan 31^\circ\approx 6\ (\mathrm{m}). \] Chiều cao của cột cờ là \[BC=BA+AC=6+1{,}5=7{,}5\ (\mathrm{m}). \]