ĐỀ THI MINH HỌA THPT QUỐC GIA NĂM 2021 MÔN TOÁN (CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT)

Thời gian làm bài:

Câu 1. Có bao nhiêu cách chọn ra $3$ học sinh từ một nhóm có $5$ học sinh?
A. $5!$.
B. $A_{5}^{3}$.
C. $C_{5}^{3}$.
D. $5^{3}$.

Lời giải câu 1
Việc chọn học sinh ra không có tính thứ tự. Mỗi cách chọn bất kỳ $3$ học sinh trong $5$ học sinh là một tổ hợp chập $3$ của $5$. Vậy có $C_{5}^{3}$ cách chọn.

Câu 2. Cho cấp số cộng $\left(u_{n}\right)$ có $u_{1}=1$ và $u_{2}=3$. Giá trị của $u_{3}$ bằng
A. $6$.
B. $9$.
C. $4$.
D. $5$.

Lời giải câu 2
Cấp số cộng có $u_{1}=1$ và $u_{2}=3$ thì công sai $d=u_{2}-u_{1}=3-1=2$. Vậy $u_{3}=u_{2}+d=3+2=5$.

Câu 3. Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên những khoảng nào, trong các khoảng dưới đây?
A. $(-2;2)$.
B. $(0;2)$.
C. $(-2;0)$.
D. $(2;+\infty)$.

Lời giải câu 3
Ta thấy trên $ (0;2) $ thì $ f'(x)>0 $ và mũi tên có chiều hướng lên. Từ bảng biến thiên $\Rightarrow$ đạo hàm của hàm số dương trên các khoảng $(-\infty;-2)$ và $(0;2)$. Vậy đáp án cần chọn là khoảng $(0;2)$.

Câu 4. Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Điểm cực đại của hàm số đã cho là:
A. $x=-3$.
B. $x=1$.
C. $x=2$.
D. $x=-2$.

Lời giải câu 4
Vì $ f'(x)$ đổi dấu từ $ + $ sang $ - $ khi hàm số qua $ x=-2 $ nên $ x_{CĐ}=-2 $.

Câu 5. Cho hàm số $f(x)$ có bảng xét dấu của đạo hàm $ f'(x) $ như sau: Hàm số $ f(x) $ có bao nhiêu bảng cực trị?
A. $4$.
B. $1$.
C. $2$.
D. $3$.

Lời giải câu 5
Ta thấy $ f'(x) $ đổi dấu khi qua cả bốn số $ x=-2 $, $ x=1 $, $ x=3 $ $x=5$ nên chúng đều là các điểm cực trị của hàm số $ f(x) $.

Câu 6. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $ y=\dfrac{2x+4}{x-1} $ là đường thẳng
A. $1$.
B. $-1$.
C. $2$.
D. $-2$.

Lời giải câu 6
Ta có $\underset{x\to {1}^{-}}{\lim }\dfrac{2x+4}{x-1}=-\infty $ và $\underset{x\to {1}^{+}}{\lim }\dfrac{2x+4}{x-1}=+\infty $ nên $x=1$ là tiệm cận đứng.

Câu 7. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong như hình bên
A. $-x^4+2x^2-1$.
B. $x^4-2x^2-1$.
C. $x^3-3x^2-1$.
D. $-x^3-3x^2-1$.

Lời giải câu 7
Đây chính là dạng của đồ thị hàm trùng phương có hệ số cao nhất dương, có ba điểm cực trị và cắt trục tung tại điểm có tung độ âm. Khi đó chỉ có $y=x^{4}-2x^{2}-1$ là thỏa mãn.

Câu 8. Đồ thị của hàm số $ y=x^3-3x+2 $ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
A. $0$.
B. $1$.
C. $2$.
D. $-2$.

Lời giải câu 8
Để tìm tọa độ của giao điểm với trục tung, ta cho $x=0$, khi đó tung độ là $f(0)=2$.

Câu 9. Với $ a $ là số thực dương tùy ý, $ \log_3(9a) $ bằng
A. $\dfrac{1}{2} +\log_3 a$.
B. $2\log_3 a$.
C. $(\log_3 a)^2$.
D. $2+\log_3 a$.

Lời giải câu 9
Áp dụng công thức logarit của một tích ta có: $\log _{3}(9a)=\log _{3}9+\log _{3}a=2+\log _{3}a.$

Câu 10. Đạo hàm của hàm số $ y=2^x $ là
A. $y'=2^x\ln 2$.
B. $y'=2^x$.
C. $y'=\dfrac{2^x}{\ln 2}$.
D. $y'=x2^{x-1}$.

Lời giải câu 10
Hàm số $y=a^{x}$ có đạo hàm là $y'=a^{x}\ln a$, với $a>0,a\ne 1$, nên hàm số $y=2^{x}$ có đạo hàm là $y'=2^{x}\ln 2$.

Câu 11. Với $ a $ là số thực dương tùy ý, $ \sqrt{a^3} $ bằng
A. $a^6$.
B. $a^{\frac{3}{2}}$.
C. $a^{\frac{2}{3}}$.
D. $a^{\frac{1}{6}}$.

Lời giải câu 11
Từ định nghĩa căn bậc $n$ ta có $\sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}$ với mọi $a>0$ và $m,n\in \mathbb{Z}^{+}$, nên nên $\sqrt{a^{3}}=a^{\frac{3}{2}}$.

Câu 12. Nghiệm của phương trình $ 5^{2x-4}=25 $ là
A. $x=3$.
B. $x=2$.
C. $x=1$.
D. $x=-1$.

Lời giải câu 12
Ta có $5^{2x-4}=25\Leftrightarrow 2x-4=2\Leftrightarrow x=3.$

Câu 13. Nghiệm của phương trình $ \log_{2}(3x)=3 $ là
A. $x=3$.
B. $x=2$.
C. $x=\dfrac{8}{3}$.
D. $x=\dfrac{1}{2}$.

Lời giải câu 13
Ta có $\log _{2}(3x)=3\Leftrightarrow 3x=2^{3}\Leftrightarrow x=\dfrac{8}{3}.$

Câu 14. Cho hàm số $ f(x)=3x^2-1 $. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. $\displaystyle \int f(x) \mathrm{d} x=3 x^{3}-x+C$.
B. $\displaystyle \int f(x) \mathrm{d} x=x^{3}-x+C$.
C. $\displaystyle \int f(x) \mathrm{d} x=\dfrac{1}{3} x^{3}-x+C$.
D. $\displaystyle \int f(x) \mathrm{d} x=x^{3}+C$.

Lời giải câu 14
Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản: $\displaystyle \int{(3{x}^{2}-1)\text{d}x}=x^{3}-x+C$.

Câu 15. Cho hàm số $ f(x)=\cos 2x $. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. $\displaystyle \int f(x) \mathrm{d} x=\dfrac{1}{2}\sin 2x+C$.
B. $\displaystyle \int f(x) \mathrm{d} x=-\dfrac{1}{2}\sin 2x+C$.
C. $\displaystyle \int f(x) \mathrm{d} x=2\sin 2x+C$.
D. $\displaystyle \int f(x) \mathrm{d} x=-2\sin 2x+C$.

Lời giải câu 15
Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản: $\displaystyle \int{\text{cos(2}x)\text{d}x}=\dfrac{1}{2}\sin (2x)+C$.

Câu 16. Nếu $\displaystyle\int\limits_{1}^{2}f(x)\mathrm{d}x=5$ và $\displaystyle\int\limits_{2}^{3}f(x)\mathrm{d}x=-2$ thì $\displaystyle\int\limits_{1}^{3}f(x)\mathrm{d}x$ bằng:
A. $3$.
B. $7$.
C. $-10$.
D. $-7$.

Lời giải câu 16
Áp dụng $\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=\int\limits_{a}^{c}f(x)\mathrm{d}x+\int\limits_{c}^{b}f(x)\mathrm{d}x$ ta có: $\displaystyle\int\limits_{1}^{3}f(x)\mathrm{d}x=\displaystyle\int\limits_{1}^{2}f(x)\mathrm{d}x+\int\limits_{2}^{3}f(x)\mathrm{d}x=5+(-2)=3$.

Câu 17. Tích phân $\displaystyle\int\limits_{1}^{2}x^{3}\mathrm{d}x$ bằng:
A. $\dfrac{15}{3}$.
B. $\dfrac{17}{4}$.
C. $\dfrac{7}{4}$.
D. $\dfrac{15}{4}$.

Lời giải câu 17
Ta có $\displaystyle\int_{1}^{2}{{x}^{3}\text{d}x}=\left.{\dfrac{{x}^{4}}{4}}\right|_{1}^{2}=\dfrac{{2}^{4}-{1}^{4}}{4}=\dfrac{15}{4}.$

Câu 18. Số phức liên hợp của số phức $z=3+2i$ là:
A. $\overline{z}=3-2i$.
B. $\overline{z}=2+3i$.
C. $\overline{z}=-3+2i$.
D. $\overline{z}=-3-2i$.

Lời giải câu 18
$z=a+bi$ thì số phức liên hợp là $\overline{z}=a-bi$. Vậy $z=3+2i$ có liên hợp là $\overline{z}=3-2i$.

Câu 19. Cho hai số phức $z=3+i$ và $w=2+3i$. Số phức $z-w$ bằng:
A. $1+4i$.
B. $1-2i$.
C. $5+4i$.
D. $5-2i$.

Lời giải câu 19
Áp dụng công thức cộng trừ số phức: Ta có $z-w=(3+i)-(2+3i)=1-2i.$

Câu 20. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức $3-2i$ có tọa độ là:
A. $(2;3)$.
B. $(-2;3)$.
C. $(3;2)$.
D. $(3;-2)$.

Lời giải câu 20
Điểm biểu diễn của $z=a+bi$ có tọa độ là $(a;b)$ nên $3-2i$ biểu diễn bởi $(3;-2).$

Câu 21. Một khối chóp có diện tích đáy bằng $6$ và chiều cao bằng $5$. Thể tích của khối chóp bằng:
A. $10$.
B. $30$.
C. $90$.
D. $15$.

Lời giải câu 21
Thể tích khối chóp là: $\dfrac{1}{3}S\times h$ với $S=$ diện tích đáy, $h=$ chiều cao nên $V=\dfrac{6\times 5}{3}=10.$

Câu 22. Thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước $2;3;7$ bằng:
A. $14$.
B. $42$.
C. $126$.
D. $12$.

Lời giải câu 22
Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước là $a;b;c$ được tính theo công thức $V=abc$ nên thể tích cần tính là: $V=2\cdot 3\cdot 7=42.$

Câu 23. Công thức tính thể tích $V$ của khối nón có bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$ là:
A. $V=\pi rh$.
B. $V=\pi r^{2}h$.
C. $V=\dfrac{1}{3}\pi rh$.
D. $V=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h$.

Lời giải câu 23
Công thức tính thể tích khối nón: $V=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h$.

Câu 24. Một hình trụ có bán kính đáy $r=4$cm và độ dài đường sinh $l=3$cm. Diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng:
A. $12\pi\mathrm{cm}^{2}$.
B. $48\pi\mathrm{cm}^{2}$.
C. $24\pi\mathrm{cm}^{2}$.
D. $36\pi\mathrm{cm}^{2}$.

Lời giải câu 24
Công thức diện tích xung quanh hình trụ là $S_{xq}=2\pi rl$ nên diện tích cần tính là $S_{xq}=2\pi rl=2\pi \cdot 4\cdot 3=24\pi \text{ }(cm^{2}).$

Câu 25. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;1;2)$ và $B(3;1;0)$. Trung điểm của đoạn thẳng $AB$ có tọa độ là:
A. $(4;2;2)$.
B. $(2;1;1)$.
C. $(2;0;2)$.
D. $(1;0;-1)$.

Lời giải câu 25
Trung điểm $I$ của $AB$ có tọa độ là $\left(\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2};\dfrac{y_{A}+y_{B}}{2};\dfrac{z_{A}+z_{B}}{2}\right)$ nên $x_{I}=\dfrac{3+1}{2}=2,y_{I}=\dfrac{1+1}{2}=1,z_{I}=\dfrac{2+0}{2}=1.$

Câu 26. Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S)\colon x^2+(y-1)^2+z^2=9$ có bán kính bằng
A. $9$.
B. $3$.
C. $81$.
D. $6$.

Lời giải câu 26
Phương trình mặt cầu là: $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}$ nên $R^{2}=9\Rightarrow R=3$.

Câu 27. Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng nào dưới đây đi qua điểm $M(1;-2; 1)$?
A. $(P_1)\colon x+y+z=0$.
B. $(P_2)\colon x+y+z-1=0$.
C. $(P_3)\colon x-2 y+z=0$.
D. $(P_4)\colon x+2 y+z-1=0$.

Lời giải câu 27
Thay tọa độ của điểm $M$ trực tiếp vào các phương trình để kiểm tra.

Câu 28. Trong không gian $Oxyz$, véc-tơ nào dưới đây là một véc-tơ chi phương của đường thằng đi qua gốc tọa độ $O$ và điểm $M(1;-2; 1)?$
A. $\overrightarrow{u}_1=(1; 1; 1)$.
B. $\overrightarrow{u}_2=(1; 2; 1)$.
C. $\overrightarrow{u}_3=(0; 1; 0)$.
D. $\overrightarrow{u}_4=(1;-2; 1)$.

Lời giải câu 28
Ta có $\vec{OM}=(1;-2;1)$ là một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng $OM$.

Câu 29. Chọn ngẫu nhiên một số trong $15$ số nguyên dương đầu tiên. Xác suất đề chọn được số chẵn bằng
A. $\dfrac{7}{8}$.
B. $\dfrac{8}{15}$.
C. $\dfrac{7}{15}$.
D. $\dfrac{1}{2}$.

Lời giải câu 29
Trong $15$ số nguyên dương đầu tiên $1,2,3,\ldots ,15$, ta đếm được có $7$ số chẵn nên xác suất cần tìm là $\dfrac{7}{15}$.

Câu 30. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên $\mathbb{R}$?
A. $y=\dfrac{x+1}{x-2}$.
B. $y=x^2+2 x$.
C. $y=x^3-x^2+x$.
D. $y=x^4-3 x^2+2$.

Lời giải câu 30
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ trước hết phải có tập xác định $\mathscr{D}=\mathbb{R}$, loại câu "$y=\dfrac{x+1}{x-2}$", xét các câu khác. Chỉ có $(x^{3}-x^{2}+x)'=3x^{2}-2x+1>0,\forall x$ nên $y=x^{3}-x^{2}+x$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$

Câu 31. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x^4-2x^2+3$ trên đoạn $[0; 2]$. Tồng $M+m$ bằng
A. $11$.
B. $14$.
C. $5$.
D. $13$.

Lời giải câu 31
Ta có $f'(x)=4x^{3}-4x$ và $f'(x)=0\Leftrightarrow x=0,x=\pm 1$.
Trên $[0;2],$ ta xét các giá trị $f(0)=3$, $f(1)=2$, $f(2)=11$.
Do đó $M=11$, $m=2$ và $M+m=13$.

Câu 32. Tập nghiệm của bất phương trình $3^{4-x^2}\geq 27$ là
A. $[-1; 1]$.
B. $(-\infty; 1]$.
C. $[-\sqrt{7};\sqrt{7}]$.
D. $[1;+\infty)$.

Lời giải câu 32
Ta có $3^{4-{x}^{2}}\ge 27\Leftrightarrow 4-x^{2}\ge \log _{3}27=3\Leftrightarrow x^{2}\le 1\Leftrightarrow -1\le x\le 1$.

Câu 33. Nếu $\displaystyle\int\limits_1^3[2 f(x)+1]\mathrm{d} x=5$ thì $\displaystyle\int\limits_1^3 f(x)\mathrm{d} x$ bằng
A. $3$.
B. $2$.
C. $\dfrac{3}{4}$.
D. $\dfrac{3}{2}$.

Lời giải câu 33
Áp dụng tính chất tích phân $5=\displaystyle\int_{1}^{3}{\left[{2f(x)+1}\right]\text{d}x}=2\displaystyle\int_{1}^{3}{f(x)\text{d}x}+2\Rightarrow \displaystyle\int_{1}^{3}{f(x)\text{d}x}=\dfrac{3}{2}.$

Câu 34. Cho số phức $z=3+4i$. Mô-đun của số phức $(1+i) z$ bằng
A. $50$.
B. $10$.
C. $\sqrt{10}$.
D. $5\sqrt{2}$.

Lời giải câu 34
Dùng tính chất modun của tích: $\left|{(1+i)z}\right|=\left|{1+i}\right|\left|{3+4i}\right|=\sqrt{2}\cdot 5=5\sqrt{2}$.

Câu 35. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB=AD=2$ và $AA'=2\sqrt{2}$ (tham khào hình bên). Góc giữa đường thằng $CA'$ và mặt phằng $(ABCD)$ bằng
A. $30^{\circ}$.
B. $45^{\circ}$.
C. $60^{\circ}$.
D. $90^{\circ}$.

Lời giải câu 35
Góc cần tìm là $A'CA=\alpha $. Vì đáy là hình vuông nên $AC=AB\sqrt{2}=2\sqrt{2}$ và $\tan \alpha =\dfrac{AA'}{AC}=1\Rightarrow \alpha =45^\circ$.

Câu 36. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có độ dài cạnh đáy băng $2$ và độ dài cạnh bên bằng $3$ (tham khào hình bên). Khoảng cách từ $S$ đến mặt phằng $(AB D)$ bằng
A. $\sqrt{7}$.
B. $1$.
C. $7$.
D. $\sqrt{11}$.

Lời giải câu 36
Gọi $O$ là tâm của đáy thì $\mathrm{d}\left(S,(ABCD)\right)=SO$.
Ta có $OA=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$ và $SA=3$ nên $SO=\sqrt{S{A}^{2}-O{A}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}-2}=\sqrt{7}$.

Câu 37. Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu có tâm là gốc tọa độ $O$ và đi qua điểm $M(0;0;2)$ có phương trình là
A. $x^2+y^2+z^2=2$.
B. $x^2+y^2+z^2=4$.
C. $x^2+y^2+(z-2)^2=4$.
D. $x^2+y^2+(z-2)^2=2$.

Lời giải câu 37
Bán kính của mặt cầu là $MO=2$, và do có tâm ở $O(0;0;0)$ nên có phương trình là $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.$

Câu 38. Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng đi qua hai điểm $A(1; 2;-1)$ và $B(2;-1; 1)$ có phương trình tham số là
A. $\left\{\begin{aligned}&x=1+t\\& y=2-3t\\& z=-1+2 t \end{aligned}\right.$.
B. $\left\{\begin{aligned}&x=1+t\\&y=2-3t\\&z=1+2t \end{aligned}\right.$.
C. $\left\{\begin{aligned}&x=1+t\\& y=-3+2t\\& z=2-t \end{aligned}\right.$.
D. $\left\{\begin{aligned}&x=1+t\\& y=1+2t \\& z=-t \end{aligned}\right.$.

Lời giải câu 38
Ta có $\vec{AB}=(1;-3;2)$ là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng, nó đi qua điểm $A(1;2;-1)$ nên có phương trình tham số là $\left\{\begin{aligned} &x=1+t\\ &y=2-3t\\ &z=-1+2t\\ \end{aligned}\right.,\,t\in \mathbb{R}.$

Câu 39. Cho hàm số $f(x)$, đồ thị của hàm số $y=f'(x)$ là đường cong trong hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số $g(x)=f(2 x)-4x$ trên đoạn $\left[-\dfrac{3}{2}; 2\right]$ bằng
A. $f(0)$.
B. $f(-3)+6$.
C. $f(2)-4$.
D. $f(4)-8$.

Lời giải câu 39
Đặt $2x=t$ thì $t\in [-3;4]$ và ta đưa về xét $h(t)=f(t)-2t$.
Ta có $h'(t)=f'(t)-2$ nên dựa vào đồ thị đã cho thì $h'(t)=0$ có hai nghiệm $t=0,t=2,$ trong đó $f'(t)-2$ lại không đổi dấu khi qua $t=0,$ còn $h'(t)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $t=2$.
Lập bảng biến thiên cho $h(t)$ trên $[-3;4]$, ta có $\max h(t)=h(2)=f(2)-4.$

Câu 40. Có bao nhiêu số nguyên dương $y$ sao cho úng với mỗi $y$ có không quá $10$ số nguyên $x$ thỏa mãn $\left(2^{x+1}-\sqrt{2}\right)\left(2^x-y\right)< 0$?
A. $1024$.
B. $2047$.
C. $1022$.
D. $1023$.

Lời giải câu 40
Đặt $t=2^{x}>0$ thì ta có bất phương trình $(2t-\sqrt{2})(t-y)< 0$ hay $(t-\dfrac{\sqrt{2}}{2})(t-y)< 0\text{ }(*).$ Vì $y\in \mathbb{Z}^{+}$ nên $y>\dfrac{\sqrt{2}}{2}$,
Do đó $(*)\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{2}}{2}< t< y\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{2}}{2}< 2^{x}< y\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}< x< \log _{2}y.$
Nếu $\log _{2}y>10$ thì $x\in \{0,1,2,\ldots ,10\}$ đều là nghiệm, không thỏa. Suy ra $\log _{2}y\le 10$ hay $y\le 2^{10}=1024$, từ đó có $y\in \{1,2,\ldots ,1024\}.$

Câu 41. Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{aligned}&x^2-1\text{khi}x\geq 2\\& x^2-2 x+3\text{khi}x< 2 \end{aligned}\right.$. Tich phân $\displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{\pi}{2}} f(2\sin x+1)\cos x\mathrm{~d} x$ bằng
A. $\dfrac{23}{3}$.
B. $\dfrac{23}{6}$.
C. $\dfrac{17}{6}$.
D. $\dfrac{17}{3}$.

Lời giải câu 41
Trong tích phân $I$ đã cho, đặt $t=2\sin x+1$ thì $\text{d}t=2\cos x\text{d}x$. Ta có $I=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{1}^{3}{f(t)\text{d}t}=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{1}^{2}{\text{(}{t}^{2}-2t+3\text{)d}t}+\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{1}^{3}{\text{(}{t}^{2}-1\text{)d}t}=\dfrac{23}{6}.$

Câu 42. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $|z|=\sqrt{2}$ và $(z+2 i)(\overline{z}-2)$ là số thuần ảo?
A. $1$.
B. $0$.
C. $2$.
D. $4$.

Lời giải câu 42
Đặt $z=a+bi$ với $a,b\in \mathbb{R}$ thì $(z+2i)(\overline{z}-2)=(a+(b+2)i)(a-2-bi)=a(a-2)+b(b+2)$. Do đó, ta có hệ $\left\{\begin{aligned} &a^{2}+b^{2}=2\\ &a(a-2)+b(b+2)=0\\ \end{aligned}\right.$ hay $\left\{\begin{aligned} &a^{2}+b^{2}=2\\ &a-b=1\\ \end{aligned}\right.$. Giải hệ này được hai nghiệm.

Câu 43. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đêu cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa $SA$ và mặt phẳng $(SBC)$ bằng $45^{\circ}$ (tham khảo hình bên). Thề tích của khối chóp $S.ABC$ bằng
A. $\dfrac{a^3}{8}$.
B. $\dfrac{3 a^3}{8}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}a^3}{12}$.
D. $\dfrac{a^3}{4}$.

Lời giải câu 43
Gọi $M$ là trung điểm $BC$ thì $AM\perp BC$ và $SA\perp BC$ nên $BC\perp (SAM).$ Từ đây dễ thấy góc cần tìm là $\alpha =\widehat{ASM}=45^\circ $.
Do đó, $SAM$ vuông cân ở $A$ và $SA=AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Suy ra $V_{S.ABC}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \dfrac{{a}^{2}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{a}^{3}}{8}.$

Câu 44. Ông Bình làm lan can ban công ngôi nhà cùa mình bằng một tấm kính cường lực. Tấm kính đó là một phần của mặt xung quanh của một hình trụ như hình bên. Biết giá tiền của $1$ m$^2$ kính nhu trên là $1.500.000$ đồng. Hòi số tiền (làm tròn đến hàng nghìn) mà ông Bình mua tấm kính trên là bao nhiêu?
A. $23.591.000$ đồng.
B. $36.173.000$ đồng.
C. $9.437.000$ đồng.
D. $4.718.000$ đồng.

Lời giải câu 44
Gọi $r$ là bán kính đáy của hình trụ thì ta có $4{,}45=2r\cdot \sin 150^\circ \Rightarrow r=4{,}45$.
Từ đó suy ra góc ở tâm ứng với cung này là $60^\circ $ và cung này bằng $\dfrac{1}{6}$ chu vi đường tròn đáy.
Ta có diện tích xung quanh của các hình trụ là $S_{xd}=2\pi rh$ nên diện tích của tấm kính chính là $\dfrac{1}{6}\cdot 2\pi rh=\dfrac{\pi rh}{3}$.
Do đó, giá tiền là $1.500.000\times \dfrac{\pi \cdot 4{,}45\cdot 1{,}35}{3}\approx 9.437.000$ đồng.

Câu 45. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)\colon 2x+2 y-z-3=0$ và hai đường thằng $d_1\colon\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+1}{-2}, d_2\colon\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+1}{-1}$. Đường thẳng vuông góc với $(P)$, đồng thời cắt cà $d_1$ và $d_2$ có phương trình là
A. $\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z+2}{-1}$.
B. $\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z+1}{-2}$.
C. $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{-2}=\dfrac{z+1}{-1}$.
D. $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-2}{-1}$.

Lời giải câu 45
Gọi $A(2a+1,a,-2a-1)$ và $B(b+2,2b,-b-1)$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $d$ cần tìm với $d_1$, $d_2$.
Ta có $\vec{AB}=(b-2a+1,2b-a,-b+2a)$ nên để $d\perp (P)$ thì $\dfrac{b-2a+1}{2}=\dfrac{2b-a}{2}=\dfrac{-b+2a}{-1}$.
Giải ra được $(a;b)=(0;1)$ nên $\vec{AB}=(2;2;-1)$ và $A(1;0;-1)$, $B(3;2;-2)$.
Từ đó viết được $d\colon\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z+2}{-1}.$

Câu 46. Cho $f(x)$ là hàm số bậc bốn thỏa mãn $f(0)=0$. Hàm số $f'(x)$ có bảng biến thiên như sau Hàm số $g(x)=\left|f\left(x^3\right)-3x\right|$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. $3$.
B. $5$.
C. $4$.
D. $2$.

Lời giải câu 46
Ta có $f'(x)$ bậc ba có $2$ điểm cực trị là $x=-3,x=-1$ nên $f''(x)=a(x+3)(x+1)$. Suy ra $f'(x)=a\left(\dfrac{x^3}{3}+2x^{2}+3x\right)+b$.
Từ $f(-3)=-1$ và $f(-1)=-\dfrac{61}{3}$, giải ra $a=\dfrac{29}{2},b=-1$ hay $f'(x)=\dfrac{29}{2}(\dfrac{{x}^{3}}{3}+2x^{2}+3x)-1.$ Do đó $f'(0)=-1< 0$.
Đặt $h(x)=f(x^{3})-3x$ thì $h'(x)=3x^{2}f'(x^{3})-3$ nên $h'(x)=0\Leftrightarrow f'(x^{3})=\dfrac{1}{{x}^{2}}.\quad(*)$
Trên $(-\infty ;0)$ thì $f'(x)< 0$ nên $f'(x^{3})< 0,\forall x< 0$, kéo theo $(*)$ vô nghiệm trên $(-\infty ;0]$.
Xét $x>0$ thì $f'(x)$ đồng biến còn $\dfrac{1}{{x}^{2}}$ nghịch biến nên $(*)$ có không quá $1$ nghiệm.
Lại có $\lim\limits_{x\to {0}^{+}}(f'(x^{3})-\dfrac{1}{x^2})=-\infty $ và $\underset{x\to +\infty }{\lim }(f'(x^{3})-\dfrac{1}{x^2})=+\infty $ nên $(*)$ có đúng nghiệm $x=c>0$.
Xét bảng biến thiên của $h(x)$

Vì $h(0)=f(0)=0$ nên $h(c)< 0$ và phương trình $h(x)=0$ có hai nghiệm thực phân biệt, khác $c.$ Từ đó $\left|{h(x)}\right|$ sẽ có $3$ điểm cực trị.

Câu 47. Có bao nhiêu số nguyên $a(a\geq 2)$ sao cho tồn tại số thực $x$ thỏa mãn \[\left(a^{\log x}+2\right)^{\log a}=x-2?\]
A. $8$.
B. $9$.
C. $1$.
D. Vô số.

Lời giải câu 47
Điều kiện $x>0.$ Đặt $y=a^{\log x}+2>0$ thì $y^{\log a}=x-2\Leftrightarrow a^{\log y}+2=x$.
Từ đó ta có hệ $\left\{\begin{aligned} &y=a^{\log x}+2\\ &x=a^{\log y}+2\\ \end{aligned}\right..$
Do $a\ge 2$ nên hàm số $f(t)=a^{t}+2$ là đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Giả sử $x\ge y$ thì $f(y)\ge f(x)$ sẽ kéo theo $y\ge x,$ tức là phải có $x=y.$
Tương tự nếu $x\le y.$
Vì thế, ta đưa về xét phương trình $x=a^{\log x}+2$ với $x>0$ hay $x-x^{\log a}=2$.
Ta phải có $x>2$ và $x>x^{\log a}\Leftrightarrow 1>\log a\Leftrightarrow a< 10.$
Ngược lại, với $a< 10$ thì xét hàm số liên tục $g(x)=x-x^{\log a}-2=x^{\log a}(x^{1-\log a}-1)-2$ có $\lim\limits_{x\to +\infty }g(x)=+\infty $ và $g(2)< 0$ nên $g(x)$ sẽ có nghiệm trên $(2;+\infty)$.
Do đó, mọi số $a\in \{2,3,\ldots ,9\}$ đều thỏa mãn.

Câu 48. Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Biết hàm số $f(x)$ đạt cực trị tại hai điểm $x_1$, $x_2$ thỏa mãn $x_2=x_1+2$ và $f(x_1)+f(x_2)=0$. Gọi $S_1$ và $S_2$ là diện tich của hai hình phẳng được gạch trong hình bên. Ti số $\dfrac{S_1}{S_2}$ bằng
A. $\dfrac{3}{4}$.
B. $\dfrac{5}{8}$.
C. $\dfrac{3}{8}$.
D. $\dfrac{3}{5}$.

Lời giải câu 48
Rõ ràng kết quả bài toán không đổi nếu ta tịnh tiến đồ thị sang trái cho điểm uốn trùng gốc tọa độ $O$.
Gọi $g(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ là hàm số khi đó thì dễ thấy $g(x)$ lẻ nên có ngay $b=d=0$ và $g(x)=ax^{3}+cx$ có hai điểm cực trị tương ứng là $-1,1,$ cũng là nghiệm của $3ax^{2}+c=0.$ Từ đó dễ dàng có $g(x)=k(x^{3}-3x)$ với $k>0.$
Xét diện tích hình chữ nhật $S_{1}+S_{2}=\left|{(-1)\cdot g(-1)}\right|=2k.$
Ngoài ra, $S_{2}=k\int_{-1}^{0}{\left|{{x}^{3}-3x}\right|\text{d}x}=\dfrac{5}{4}k.$
Vì thế $S_{1}=2k-\dfrac{5k}{4}=\dfrac{3k}{4}$ và $\dfrac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\dfrac{3}{5}.$

Câu 49. Xét hai số phức $z_1, z_2$ thỏa mãn $|z_1|=1$, $|z_2|=2$ và $|z_1-z_2|=\sqrt{3}$. Giá trị lớn nhất icua $\left|3 z_1+z_2-5 i\right|$ bằng
A. $5-\sqrt{19}$.
B. $5+\sqrt{19}$.
C. $-5+2\sqrt{19}$.
D. $5+2\sqrt{19}$.

Lời giải câu 49
Đặt $z_{1}=a+bi,z_{2}=c+di$ với $a,b,c,d\in \mathbb{R}$.
Theo giả thiết thì $a^{2}+b^{2}=1$, $c^{2}+d^{2}=4$, $(a-c)^{2}+(b-d)^{2}=3$.
Do đó $a^{2}-2ac+c^{2}+b^{2}-2bd+d^{2}=3\Rightarrow ac+bd=1$
Ta có $3z_{1}+z_{2}=3(a+c)+(3b+d)i$ nên \[\left|{3{z}_{1}+{z}_{2}}\right|=(3a+c)^{2}+(3b+d)^{2}=9(a^{2}+b^{2})+(c^{2}+d^{2})+6(ac+bd)=19.\] Áp dụng bất đẳng thức $\left|{z+z'}\right|\le \left|{z}\right|+\left|z'\right|$, ta có ngay $\left|{3{z}_{1}+{z}_{2}-5i}\right|\le \left|{3{z}_{1}+{z}_{2}}\right|+\left|{-5i}\right|=\sqrt{19}+5$.

Câu 50. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2; 1; 3)$ và $B(6; 5; 5)$. Xét khối nón $(N)$ có đình $A$, đường tròn đáy nằm trên mật cầu đường kính $A B$. Khi $(N)$ có thể tich lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của $(N)$ có phương trình dạng $2x+b y+cz+d=0$. Giá trị của $b+c+d$ bằng
A. $-21$.
B. $-12$.
C. $-18$.
D. $-15$.

Lời giải câu 50
Xét bài toán sau: Cho khối nón $(N)$ có đỉnh $A$, đáy có tâm là $I$, bán kính $r$ và chiều cao $h$ nội tiếp mặt cầu $(S)$ có tâm $O,$ bán kính $R.$ Tìm thể tích lớn nhất của khối nón.
Để $V_{N}$ max thì ta xét $h\ge R$ (vì nếu $h< R$ thì đối xứng đường tròn đáy của $(N)$ qua tâm $O,$ ta có bán kính đáy giữ nguyên nhưng chiều cao tăng lên).
Khi đó $OI=h-R$ và $r^{2}=R^{2}-(h-R)^{2}=h(2R-h)$ nên $V=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h=\dfrac{1}{3}\pi (2R-h)h^{2}$.
Theo bất đẳng thức Cô-si thì $(2R-h)\cdot \dfrac{h}{2}\cdot \dfrac{h}{2}\le \left({\dfrac{2R}{3}}\right)^{3}$ nên $V\le \dfrac{8\pi {R}^{3}}{81}$.
Giá trị lớn nhất này đạt được khi $2R-h=\dfrac{h}{2}\Leftrightarrow h=\dfrac{4R}{3}.$ Trở lại bài toán, theo kết quả trên, để $V_{(N)}$ max thì $I\in AB$ sao cho $AI=\dfrac{4R}{3}=\dfrac{2AB}{3}$ hay $\vec{AI}=\dfrac{2}{3}\vec{AB}=\dfrac{2}{3}(4;4;2)=\left({\dfrac{8}{3};\dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3}}\right),$trong đó $I$ là tâm đường tròn đáy.
Từ đó $I\left({\dfrac{14}{3};\dfrac{11}{3};\dfrac{13}{3}}\right)$.
Ta cũng có $\vec{AB}=(4;4;2)\parallel (2;2;1)$ vuông góc $(I)$ nên mặt phẳng cần tìm có phương trình \[2\left(x-\dfrac{14}{3}\right)+2\left(y-\dfrac{11}{3}\right)+\left(z-\dfrac{13}{3}\right)=0\Leftrightarrow 2x+2y+z-21=0.\] Vì thế $(b,c,d)=(2,1,-21)$ nên $b+c+d=-18.$

   Số câu đúng